Spätsommer Rätsel

By Peter Martan Date 2016-09-17 11:37

Ich hatte hier schon morgens ein Lösung geschrieben, die zwar, wie ich glaube, auch richtig gemeint war, aber falsch formuliert, zumindest missverständlich, genau genommen mit richtigem Ergebnis aber falscher Herleitung.
Ich probier's noch einmal, diesmal hoffentlich klarer:

Würden die beiden Läufer am Treffpunkt jeweils umkehren und zurück laufen, statt bis zum gegenüberliegenden Ziel weiter, hätten sie keine Zeitdifferenz, sie kämen gleichzeitig wieder am jeweiligen Startpunkt an.
Die Zeitdifferenz von 10 Stunden (18-8), die sie beim Auslaufen der jeweils ganzen Strecke haben, würden sie also im Hin und Zurück einsparen, die Hälfte davon (ein jeweiliger Hinweg bis zum Treffpunkt) ist die Zeit, die sie bis zum Treffpunkt auf jeden Fall brauchen, sind 5 Stunden.
Sie treffen einander also um 20h nach 5 Stunden und müssen um 15h gestartet sein.

By Frank Brenner Date 2016-09-17 13:43

Hallo Peti,

Zitat:

Würden die beiden Läufer am Treffpunkt jeweils umkehren und zurück laufen, statt bis zum gegenüberliegenden Ziel weiter, hätten sie keine Zeitdifferenz, sie kämen gleichzeitig wieder am jeweiligen Startpunkt an.

Ja, das ist soweit richtig.

Zitat:

ie Zeitdifferenz von 10 Stunden (18-8), die sie beim Auslaufen der jeweils ganzen Strecke haben, würden sie also im Hin und Zurück einsparen,

Ja, das stimmt bis hier hin auch ...

Zitat:

, die Hälfte davon (ein jeweiliger Hinweg bis zum Treffpunkt) ist die Zeit, die sie bis zum Treffpunkt auf jeden Fall brauchen, sind 5 Stunden.
Sie treffen einander also um 20h nach 5 Stunden und müssen um 15h gestartet sein.

Was wäre denn, wenn die Läufer beinah gleichschnell wären ? Dann würde die finale Zeitdifferenz nur z.B. 2 Minuten betragen (anstatt 10 Std).
Würde dann Deiner Meinung der Startschuß 1 Minute vor dem ersten Treffen stattgefunden haben ?

Der Startschuß fiel leider nicht um 15 Uhr.

Das Rätsel ist noch nicht gelöst.

Grüße
Frank

By Peter Martan Date 2016-09-17 14:01

Frank Brenner schrieb:

Hallo Peti,

Sch...önes Rätsel mal wieder, Frani.

By Jörg Oster Date 2016-09-17 15:28

Frank Brenner schrieb:

Hier kommt ein relativ leichtes Rätsel, das jeder lösen könnte:

Beim der jährlich stattfindenen Freundschaftsbegegnung der Städte Limerick und Cork fällt zu einer bestimmten Uhrzeit der Startschuss und dann bricht ein Läufer namens Dusty von Limerick nach Cork und ein anderer Läufer namens Steady von Cork nach Limerick auf.

Dusty und Steady laufen unterschiedlich schnell , aber sie bewegen sich stets mit gleichbleibender Geschwindigkeit entlang dem gleichen Pfad.

Um 20 Uhr begegnen sich die beiden Läufer irgendwo zwischen Limerick und Cork. Um 4 Uhr früh am nächsten Morgen erreicht Dusty schließlich die Stadt Cork während Steady erst ein paar Stunden später um 14 Uhr in Limerick eintrifft.

Um welche Uhrzeit (Ortszeit) fiel der Startschuß ?

Start war um 8 Uhr morgens.
Der Läufer von Limerick benötigt 20 Stunden für die komplette Strecke, der Läufer von Cork (der langsamere) benötigt 30 Stunden.

By Frank Brenner Date 2016-09-17 15:50

Hallo Jörg,

Gratuliere! Ja das ist richtig.

Hast du auch noch den Lösungsweg ?

Grüße
Frank

By Jörg Oster Date 2016-09-17 18:19

Danke.
Früher hätte ich sowas in nullkommanix gelöst gehabt,
jetzt musste ich dann doch schon etwas rumprobieren.

Mein Lösungsweg:
Die Strecke für den 1. Läufer vom Start bis zum Treffpunkt sei x1, die Strecke für den 2. Läufer von seinem Startpunkt bis zum Treffpunkt sei x2.
Läufer 1 läuft mit Geschwindigkeit v1, Läufer 2 mit v2.
Die Zeit vom Start bis zum Treffpunkt sei t1 (für beide natürlich gleich).
Wir wissen bereits, dass Läufer 1 für sein 2. Teilstück 8 Stunden benötigt, und Läufer 2 für sein 2. Teilstück 18 Stunden.

Der zurückgelegte Weg bei gleichbleibender Geschwindigkeit ist: s = v * t

Jetzt ergibt sich:
(1) x1 = v1 * t1
(2) x1 = v2 * 18h
(3) x2 = v2 * t1
(4) x2 = v1 * 8h

und demzufolge:
v1 * t1 = v2 * 18h
v2 * t1 = v1 * 8h

Löse ich nun die 2. Gleichung nach t1 auf, ergibt sich t1 = v1 / v2 * 8h
Setze dies in die 1. Gleichung ein und erhalte: v1 = 3 / 2 * v2
Läufer 1 läuft also mit der 1,5-fachen Geschwindigkeit von Läufer 2, bzw. braucht für die gleiche Strecke nur 2/3 der Zeit von Läufer 2.

Damit hat Läufer 1 für sein 1. Teilstück 18h * 2 / 3 = 12 h benötigt, und Läufer 2 somit auch 12 h für sein 1. Teilstück.

Ich hoffe, das ist einigermaßen nachvollziehbar.

Gruß, Jörg.

By Frank Brenner Date 2016-09-17 19:43 Edited 2016-09-17 19:46

Hallo Jörg,

ja ist nachvollziehbar und richtig; beim Einsetzen in die erste Gleichung um auf v1 = 3 / 2 * v2 zu kommen hast du ein paar Umformungen unterschlagen, denn eine Wurzel muss man auch bei Dir ziehen und ist glaube ich Informationstheoretisch notwendig. Abkürzungen sind bei so elementaren Umformungen aber erlaubt.

Damit hast du das Rätsel vollständig und richtig gelöst! Super.

Die einfachste - und dennoch ausführliche - Lösung die ich für das Rätsel kenne lautet:

Sei x die Anzahl der Stunden bis zum Treffen. Der schnelle Läufer ist bis dahin die längere Teilstrecke gelaufen und der langsame die kürzere Teilstrecke.
(I) Für die lange Teilstrecke gilt: Zeit die der schnelle Läufer dazu benötigt ist x Std, der langsame Läufer benötigt dazu 18 Std.
(II) Für die kurze Teilstrecke gilt: Zeit die der schnelle Läufer benötigt ist 8 Std, der langsame benötigt x Std

Der Quotient dieser Werte ist identisch: x/18 = 8/x -> x*x=144 -> x = 12

Der Startschuß fiel also 12 Stunden vor dem Treffen, also um 8 Uhr.

Grüße Frank

By Peter Martan Date 2016-09-18 08:57 Edited 2016-09-18 09:26

Frank Brenner schrieb:

Sei x die Anzahl der Stunden bis zum Treffen. Der schnelle Läufer ist bis dahin die längere Teilstrecke gelaufen und der langsame die kürzere Teilstrecke.
(I) Für die lange Teilstrecke gilt: Zeit die der schnelle Läufer dazu benötigt ist x Std, der langsame Läufer benötigt dazu 18 Std.
(II) Für die kurze Teilstrecke gilt: Zeit die der schnelle Läufer benötigt ist 8 Std, der langsame benötigt x Std

Der Quotient dieser Werte ist identisch: x/18 = 8/x -> x*x=144 -> x = 12

Ich wusste, es geht mit einer Gleichung und einer Unbekannten, da nicht draufgekommen zu sein, ärgert mich gewaltig, aber wenn man mal am falschen Dampfer ist, ich hätte auch bei der Methode von Jörg bleiben sollen mit den 4 Gleichungen und 4 Unbekannten.

Genial einfach dabei, dieser kürzeste Ansatz!

Die Zeit x, die der Schnellere für die längere Strecke braucht, verhält sich zu 180 des Langsameren so wie 8 (der Schnellere am kürzeren Teil) zur selben Zeit x, die der Langsamere dort braucht, und die natürlich gleich ist dem x von Dusty am Anfangsteil, weil sie dorthin aus entgegengesetzten Richtungen gleich lang brauchen.
Verflixt!

By Michael Bechmann Date 2016-09-19 08:27 Edited 2016-09-19 08:34

Mit dem Lösungsansatz x*x=144 gehört auch x=-12 zur Lösungsmenge. Das bedeutet also für den Startschuss früh um 8 am Folgetag, also viel später, als Cork die Stadt Dusty erreicht hat.
Es klingt daher sinnfrei, aber mathematisch scheint es richtig zu sein.
Andererseits: Ein Quadrat mit der Länge -3 m hätte auch eine Fläche von 9 m^2.

By Peter Martan Date 2016-09-19 08:52 Edited 2016-09-19 08:55

Danke, Michael, das tröstet mich ein wenig darüber hinweg, dass ich es nicht lösen konnte. Vielleicht war's ja doch gar nicht soo leicht, quadratische Gleichungen sind immerhin irgendwie schon Oberstufenstoff gewesen zu meiner Zeit, wenn ich mich recht erinnere.

By Michael Bechmann Date 2016-09-19 09:19 Edited 2016-09-19 09:22

Bei Textaufgaben mit einem Lösungsansatz von quadratischen Gleichungen wird oft eine der Lösungen übersehen.
Aber in diesem Falle war die Lösung x = + 12 und -12 immer noch irgendwie rechnerisch im Antwortsatz noch interpretierbar ist (wobei natürlich Startschuss 6 Uhr am nächsten Tag sinnlos ist).

Komplizierter wäre es, wenn es eine Lösung mit imäginärer Komponente mit reale Komponente + bzw. - i gewesen wäre.
Eine solche "Lösung" wäre möglich bei "ungeschickter" Aufgabenstellung möglich. Aber wie interpretiert man in diesem Falle die Zeitangaben praktisch?

By Frank Brenner Date 2016-09-19 12:19

Zitat:

Aber wie interpretiert man in diesem Falle die Zeitangaben praktisch?

Man verwirft sie.

Aus dem Kontext der Aufgabe geht hervor, daß x > 0 ist. Diese Bedingung gehört zusammen mit x*x=144 zur vollständigen Lösung dazu. Beide gleichungen/ungleichungen zusammen liefern dann nur eine einzige Lösung.

Die x>0 Bedingung wird in der Regel nicht explizit aufgeschrieben, da sie trivial ist.

Science Fiction Autoren ignorieren gerne die Nebenbedingungen und wollen dann den Beweis für Zeitmaschinen oder Paralleluniversen oder Beamen gefunden haben indem prominente Gleichungen ausgewertet und dann die Imaginären Lösungen frei interpretiert werden.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-09-19 16:21

Hi!

Auf I) und II) war ich gekommen. Dann habe ich allerdings einen komplizierteren Weg eingeschlagen, der letztlich auch (irgendwann) in x*x = 144 endet.

Der kurze Weg ist sehr schön - aber wieso sollte man diese Quotienten so aufschreiben? Was sagt der aus?
Also das kommt zwar hin - aber mir fehlt die Verbindung des Satzes "Der Quotient dieser Werte ist identisch" zu der Aufgabe.

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-09-19 17:43

Hallo Wolfram,

Zitat:

Der kurze Weg ist sehr schön - aber wieso sollte man diese Quotienten so aufschreiben? Was sagt der aus?
Also das kommt zwar hin - aber mir fehlt die Verbindung des Satzes "Der Quotient dieser Werte ist identisch" zu der Aufgabe.

Das ist eine Gute Frage, und ich denke dass hier und da einige stillschweigenden Leser ebenfalls vor diesem Problem stehen.
Ich hätte ja auch die Lösung so aufschreiben können:   x=   5!/10 = 1*2*3*4*5 / 10 = 12 .... Dann wäre die Lösung auch kurz aber es gäbe keinen Zusammenhang zur Aufgabe.

Daher hier eine ausführliche Erklärung, nach der alles klar sein sollte:

Die beiden Läufer haben jeweils eine gleichbleibende, aber möglicherweise verschiedene Geschwindigkeit, also zb der schnelle läuft v1 und der langsame v2. Dann beträgt der Quotient v1/v2.
Nehmen wir an v1/v2 = 1,5. Das bedeutet dass Läufer 1   genau 1,5 mal so schnell ist wie Läufer 2.

Wenn diese beiden Läufer eine bestimmte Zeit t laufen so beträgt der Quotient der zurückgelegten Wege s1/s2 = 1,5
(Läufer 1 läuft also in der gleichen Zeit t 1,5 mal so weit wie Läufer 2)

(*)Wenn die Läufer eine beliebige Strecke s laufen so beträgt der Quotient der dazu benötigten Zeiten t2/t1 = 1.5
(Läufer 2 braucht also für die gleiche Strecke stets 1,5 mal so viel Zeit wie Läufer 1, egal wie lang die Strecke ist)

Im Rätsel kann man zwei solcher t1/t2 Quotienten "sehen":   Und zwar x/18 und 8/x

Nach dem oben gesagten (*) müssen also die beiden Quotienten den gleichen Wert besitzen also x/18 = 8 / x

Grüße
Frank

By Wolfram Bernhardt Date 2016-09-28 10:39

Hi Frank!

Ja, alles klar, so ist es verständlicher. Danke für die Erklärung.

Mittlerweile habe ich auch meinen Frieden mit meiner Lösung gemacht. Man muss mehr rechnen und aufschreiben - aber viel weniger Nachdenken

Viele Grüße,
Wolfram

By Jörg Oster Date 2016-09-19 17:14

Hallo Frank,

wenn ich Blödmann statt nach t1 nach v1 auflöse, also

v1 = v2 * 18h / t1

und in die 2. Gleichung einsetze

v2 * t1 = v2 * 18h * 8h / t1

v2 kann man wegkürzen, mit t1 multiplizieren, ergibt:

t1 * t1 = 18h * 8 h

Dass dann beim Wurzelziehen nur die positive Lösung Sinn macht, versteht sich für mich von selbst.

t1 = 12h

Das ist dann quasi die vollständige Herleitung für deine genial einfache Lösung,
welche für alle verständlich sein sollte.

Gruß, Jörg.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-09-19 16:11

Hi!

Ich habe mir ziemlich einen abgebrochen und dann 8.00 Uhr rausbekommen.

Viele Grüße,
Wolfram