Hallo Herr Hartwig,
Benno Hartwig schrieb:
danke, sehr hübsch gemacht diese Seite, allein schon mit diesem Statistikteil!
Herr Dankert war/ist ein begnadeter Programmierer. Auch für
viele andere Aufgaben aus Mathe und Physik hat er hübsche
(und schnelle) Applets programmiert. Er ist ein echter Bitschnitzer
alter Schule (und auch im Ruhestand weiter aktiv).
Zitat:
Konsequent wäre nun doch, wenn man nun statt der 3
auch "Untersuchungen" (oder sollte ich sagen: "Spielereien"?)
für andere Faktoren anstellte.
"3" ist der einnzige interessante Faktor. Das kann man sich
wie folgt überlegen. Nach der Operation "mal 3 plus 1" ist die
Zahl gerade. Man kann also durch 2 teilen. Das Ergebnis ist entweder
gerade oder ungerade. Ist es gerade, kann man wieder durch 2 teilen,
und wieder ist das neue Ergebnis gerade oder ungerade.
Im Durchschnitt kann man nach der "mal 3" Operation also zwei Mal
durch 2 teilen. Also grob:
mal 3, dividiert durch 4, mal 3, dividiert durch 4 usw
Wenn das heuristische Argument (mit "im Durchschnitt zwei Divisionen durch 2")
stimmt, kommt man bei grossen Startzahlen also in kleinere Bereiche,
und irgendwann zu 4->2->1->4 ...
Hätte man jetzt statt "mal 3 plus 1" etwa "mal 5 plus 1" und begänne
mit einer grossen Startzahl, so passiert im Durchschnitt
mal 5, dividiert durch 4, mal 5, dividiert durch 4 usw,
die Zahl wird also tendenziell wachsen.
Spannender sind andere im Buch beschriebene Varianten, z.B:
Wenn n gerade, setze n' = n/2
Wenn n ungerade und Primzahl, setze n' = 5*n + 1
Wenn n ungerade und keine Primzahl, setze n' = 3*n + 1.
Es gibt zwar unendlich viele Primzahlen, aber bei grossen
Zahlen wird ihr Anteil immer kleiner. Also sollten grosse
Startzahlen tendenziell auch in kleinere Bereiche führen,
aber eben nicht so schnell wie beim glatten 3n+1 -Problem.
Ingo Althöfer.