Rätsel: Gespräch zwischen Mathematikern

By Ingo Althöfer Date 2016-08-28 02:09

Eine Information fehlt:
Das Alter der Söhne ist hier nur in ganzen Jahren angegeben.

Ingo Althöfer.

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 02:21 Edited 2016-08-28 02:24

Und es "reicht" immer die vollen Jahre anzugeben. Z. B. 13,641 Jahre werden stets auf 13 abgerundet, wie das so üblich ist.

Oder für Mathematiker: Wir diskutieren stets in natürlichen Zahlen.

Ich befürchte, dass die Aufgabe mit dieser Angabe nicht leichter wird.

By Frank Brenner Date 2016-08-28 02:23 Edited 2016-08-28 02:26

Dann mach mal eins mit 5 auf

Hier im Forum werden 1,5er wie ein Butterbrot verspeist .

Hier ein Rätsel mit Schwierigkeitsgrad 229:

Die Menge { 1, 3, 8 , 120 } besteht aus Zahlen die eine spezielle Eigenschaft haben.

Wenn du beliebige zwei Zahlen multiplizierst, dann erhältst du eine um 1 verkleinerte Quadratzahl.

Beispiel1: 8*120 = 960 => 961 = 31*31
Beispiel2: 3*8 = 24 => 25 = 5*5
Beispiel3: 1*120 = 120 => 121 = 11*11
Beispiel4: 3*120 = 360 => 361 = 19*19
Beispiel5: 1*3 = 3 => 4 = 2*2
Beispiel6: 1*8 = 8 => 9 = 3*3

Aufgabe: Finde eine fünfte Zahl, so dass die Eigenschaft erhalten bleibt.

Für dieses Rätsel mach ich lieber keinen neuen Thread auf.

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 02:44

Je mehr ich die Lösung mal wieder ansehe würde ich die Schwierigkeit auf glatt 1 abstufen.

By Ingo Althöfer Date 2016-08-28 13:21

Lieber Herr Bechmann,

Michael Bechmann schrieb:

Je mehr ich die Lösung mal wieder ansehe würde ich die Schwierigkeit auf glatt 1 abstufen.

in meinem Augen hat das Problem den Hauptnachteil, dass es
praktisch eine reine Fleissaufgabe ist.

Vielleicht findet jemand ja eine Version, wo auch gebrochene Altersjahre
zulässig sind. Z.B. ist 3/2, 3/2, 16 eine Lösung mit Produkt 36 und
ganzzahliger Summe.

Vielleicht mögen Sie aus dem Büchlein eine Aufgabe mit Level 5 vorstellen ?!
Wir könnten uns dann als Team an der/einer Lösung versuchen.

Ingo Althöfer.

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 15:57 Edited 2016-08-28 16:49

Hallo, Prof. Althöfer,

ich wollte, als ich das Problem als leicht eingestuft hatte gar nicht arrogant sein - tatsächlich war die Aufgabe vergleichsweise leicht.

Ich hatte die Aufgabe mal einen 15jährigen Schüler gestellt und er löste die Aufgabe nach 10 Sekunden - ohne Taschenrechner und ohne schriftlichen Kram.

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Drei Aufgaben, die mir verhältnismäßig schwer vorkommen.
Ich verstehe auch die Lösung der ersten nicht vollständig - Man kann nicht sinnvoll mit mir darüber diskutieren.

1. Es waren einmal zwei Straßenfeger in Sankt Petersburg. Der eine hieß Oblomowetz und war faul, der andere hieß Stachanowetz und war ein „Workaholic“, ansonsten glichen sie sich in jeder Hinsicht.

An einem besonders kalten Wintertag fiel der elektrische Strom in der ganzen Stadt aus. Gleichzeitig setzte heftiges Schneetreiben ein. Um zur Arbeit zu kommen, verließen die beiden den Bahnhof auf 2 absolut indentischen, reibungslosen Draisinen ohne Eigenantrieb, die mit der gleichen Geschwindigkeit v0 fuhren. (Die reibungslose Draisine ist eine Errungenschaft der Partei und des modernen Sozialismus.)

Oblomowetz legte sich sogleich schlafen, während Stachanowetz sich augenblicklich ans Werk machte: Er fegte den Schnee - kaum dass er gelandet war - senkrecht zur Bewegungsrichtung der Draisine, wieder herunter.

Welcher der beiden Straßenfeger legte im gleichen Zeitraum die größere Entfernung zurück?

In Sankt Petersburg gibt es keine Hügel, da die Stadt auf einer vollkommen flachen Ebene erbaut wurde.
Der Schnee fiel mit der konstanten Intensität von m [kg/s] pro Sekunde auf beide Draisinen.

2.

Eine Fahrstuhlführerin registriert ihre Arbeitszeit mit einer Stechuhr, welche sich direkt im Fahrstuhl befindet. Sie besteht aus einer altmodischen Uhr mit einem Pendel. Die Beschleunigung des Fahrstuhls sind völlig gleichmäßig und konstant und haben den gleichen Betrag, aber stets kleiner als die Gravitationsbeschleunigung g - unabhängig davon, ob der Fahrstuhl aufwärts oder abwärts führt.

Wenn die Fahrstuhlführerin stundenweise bezahlt wird - bekommt sie dann zu viel oder zu wenig?

3.

Opa Masaij war im 19. Jh. die beliebteste Gestalt in volkstümlichen Erzählungen.

Im Frühjahr, wenn der Schnee schmolz und die Felder überflutete, wanderte Opa Masaij umher und rettete Hasen von den winzigen Inseln aufs trockene Land.
Immer, wenn Masaij eine Gruppe Hasen in Sicherheit gebracht hatte und sie wieder freiließ, stoben sie davon. Da es sich um russische Hasen handelte, verhielten sie sich mathematisch präzise:
6 freigelassene Hasen laufen mit der gleichen Geschwindigkeit v und verteilen sich in allen Seiten, wobei sie in Winkeln von 60 Grad auseinander streben.
Während sie so davonrennen, dreht sich der intelligenteste Hase um und blickt zurück.

- Welches Bild hat dieser Hase vor Augen?
- Wie schnell bewegen sich die anderen Hasen (relativ zu ihm)?
- Und gibt es irgendeine Beziehung zwischen ihren Geschwindigkeiten und ihren Positionen (wiederum relativ zum intelligentesten Hasen)?

By Jens Hartmann Date 2016-08-28 18:06

Beim ersten Rätsel würde ich behaupten, dass die Draisine, von der der Schnee nicht entfernt wird, weiter fährt. Beide Draisinen werden mit jeder landenden Schneeflocke minimal abgebremst, weil die Masse der Schneeflocke von einer horizontalen Geschwindigkeit 0 auf jene der Draisine beschleunigt wird und dabei die Draisine abgebremst wird. Gleichzeitig nimmt aber die Masse jener Draisine zu, von welcher der Schnee nicht entfernt wird. Das führt dazu, dass die kinetische Energie zunimmt und die zunehmend schwerer werdende Draisine mit jeder weiteren Schneeflocke immer weniger abgebremst wird.

Rätsel 2: Meiner Meinung nach egal, denn das Pendel pendelt bei höherer Beschleunigung (Anfahren nach oben) schneller, beim Abbremsen aber wieder langsamer. Das kompensiert sich. Um eine Zeitgewinn oder -Verlust zu erhalten, müsste die Fahrstuhlführerin den Job unten antreten und oben beenden bzw. umgekehrt.

By Frank Brenner Date 2016-08-28 18:53 Edited 2016-08-28 19:04

Rätsel 2 würde ich wie folgt lösen:

Die Frau wird betrogen:

Die Frau steigt also unten im Erdgeschoss in den Fahrstuhl. Stempelt ab. Fährt nach oben und geht dann in Ihr Büro.
Der Fahrstuhl beschleunigt k Sekunden . Fährt für eine Weile mit konstanter Geschwindigkeit weiter und bremst dann innerhalb k Sekunden ab. Es gibt keine Zwischenstopps.

Die Schwingungsfrequenz der Pendel-Uhr ist proportional zu Wurzel der effektiven Beschleunigung. (also Erdbeschleunigung+Fahrstuhlbeschleunigung)

Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 (meter/s) pro Sekunde.

Wenn der Fahrstuhl beim Anfahren sagen wir k Sekunden lang mit 1/2g nach oben beschleunigt wird und beim abbremsen ebenfalls k Sekunden um -1/2g beschleunigt, und wenn wir annehmen die gute Frau stempelt ganz unten im Erdgeschoss ab und fährt dann nach oben, dann unterliegt die Pendeluhr für k Sekunden einer effektiven Beschleunigung von 1,5g, so dass sie etwa wurzel(1,5)*k sekunden = 1,2247*k Sekunden zählt.
Beim Abbremsen über k Sekunden unterliegt die Pendeluhr einer effektiven Beschleunigung von 0,5g, so dass sie etwa wurzel(0,5)*k sekunden = 0,707106*k Sekunden zählt.

In den 2k Sekunden der Beschleunigungsphasen zählt die Pendeluhr insgesamt also (wurzel(1,5)+wurzel(0,5)k = 1,931851*k Sekunden anstatt 2k Sekunden.

Die Arme Frau wird also betrogen.

Aber wie schaut es abends aus, wenn die Frau wieder nach Hause fährt ?

Sie stempelt ja wenn der Fahrstuhl oben ist, also wenn Sie einsteigt und nicht erst später wenn sie wieder unten angekommen ist.
Hier gibt es also keinen zusätzlichen Betrug an der Zeit

By Jens Hartmann Date 2016-08-30 21:08

Frank hat recht, ich habe nicht berücksichtigt, dass in der Formel für die Periodendauer eines Pendels die Wurzel vorkommt und sich daher die Periodendauer NICHT linear zur Schwerkraft verhält. Das bedeutet, dass eine zusätzliche Beschleunigung zur Erdbeschleunigung sich nicht "symmetrisch" zu einer analogen Abnahme auswirkt. Es kommt allerdings darauf an, wo die Fahrstuhl-Führerin die Stechuhr bedient.

By Frank Brenner Date 2016-08-28 18:17

Hallo Michael,

danke für die Rätsel.

Ich habe mich gerade an das erste gemacht:

Der faule Sack kommt als erstes am Ziel an, bzw ist am ende schneller, bzw legt die größere Strecke zurück.

Um die Begründung einfacher zu machen, nehmen wir an das Gewicht von Drasine+Straßenfeger beträgt: w

Anstelle leichter Schneeflocken fallen schwere Steine vom Himmel die drei mal so schwer sind wie Drasine+Straßenfeger also: 3w

Die Geschwindigkeit der Drasinen mit den Staßenfegern ist zunächst direkt nach dem Start identisch.

Nach einiger Zeit fällt der erste Stein auf die Drasinen.

Das Gewicht vervierfacht sich jeweils und die Geschwindigkeit wird um den Faktor wurzel(4) = 2 kleiner, da die Bewegungsenergie proportional zu v^2 ist.

Hier gilt der Energieerhaltungssatz.

Anschließend wirft der fleißige Straßenfeger den Stein (dummerweise) senkrecht zur Fahrtrichtung seiner Drasine weg.
Durch diesen Wurf wird das Gewicht wieder auf ein viertel reduziert,nämlich auf w.
Aber die Geschwindigkeit bleibt gleich, da senkrecht zur Bewegungsrichtung geworfen wird.

Wenig später fällt jeweils der zweite Stein auf die Drasinen:

Die Drasine des fleißigen Straßenfegers wird erneut um den Faktor 2 langsamer, da sein Gefährt erneut um den Faktor 4 schwerer wird.

Die Drasine des faulen Straßenfegers wog allerdings vorher 4w und jetzt 7w. Es wird also nur um faktor 1,75 schwerer und die geschwindigkeit sinkt nur um faktor wurzel(1,75) = 1.32..

Grüße
Frank

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 18:48 Edited 2016-08-28 19:00

Um die Illusion entgegenzuwirken, die Lösung könnte man mal schnell nebenbei finden und sie wäre erschöpfend mit 3 Zeilen erklärt:

Um die Lösung der 1. Aufgabe zu skizzieren bräuchte man hier einen Formeleditor. Dass in umschreibenden Formeln in "Prosa-Satzbau" umzusetzen dürfte nicht möglich sein.
innerhalb der Lösung ist auch mindestens eine Grafik mit weiteren Formeln enthalten.

Wenn ich mir die Lösung ansehe, ist Frank ein wenig weiter...

Ihr wolltet schwierige Aufgaben.

Zur 2. Aufgabe: Dann bitte annehmen, dass die Fahrstuhlführerin, den Job vom Erdgeschoss (oder vom Keller) bis zur Dachterasse und zurück fährt, wenn dies der Argumentation helfen sollte. Ich erkenne nichts, was dagegen spricht.

By Jens Hartmann Date 2016-08-30 21:10 Upvotes 1

Ich habe mit anderen Worten genau das gleiche geschrieben wie Frank und denke, dass diese Aufgabe sich sehr wohl alleine mit Worten lösen lässt. Die ist nicht sooo schwer. Oder haben wir etwas übersehen?

By Frank Brenner Date 2016-08-28 13:05

Korrektur der Aufgabe: finde eine 5. natürliche Zahl größer als 1 die noch nicht in der Menge enthalten ist, so daß die Eigenschaft erhalten bleibt:

Tipp: Die Zahl muss größer als 120 sein, denn die 4 bisher gefundenen sind minimal.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 10:52

Ich versuchs mal:

Die Söhne sind 2, 2 und 9.

Viele Grüße,
Wolfram

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 12:15 Upvotes 1

Richtig.

By Jens Hartmann Date 2016-08-30 22:06 Upvotes 1

Was spricht gegen 1, 1, 36 und 1, 2, 18?

By Michael Bechmann Date 2016-08-31 00:22 Edited 2016-08-31 00:30

Produkt=36, sagt Pawel.

Es gibt 8 mögliche Kombinationen für das Produkt a*b*c = 36

Produkt Summe
3   3   4   36   10
2   3   6   36 11
1   6   6   36   13
2   2   9   36 13
1   4   9   36   14
1   3   12 36 16
1   2   18 36 21
1   1   36 36 38

Wäre eine Kombination mit eindeutiger Lösung richtig gewesen, dann hätte Igor das Alter der 3 Kinder sofort bestimmen können.
Wäre die Summe etwa 16 (das Gebäude „drüben“ hätte 16 Fenster gehabt), hätte Igor sofort gesagt: „Ihre Söhne sind 1, 3 und 12 Jahre alt.“

Igor konnte aber nicht sofort eine eindeutige Aussage treffen.
Folglich muss es eine Mehrdeutigkeit gegeben haben, und die tritt nur bei der Summe 13 auf.
In Frage kommen also nur die zwei Kombinationen mit der Summe 13.

Daher der Hinweis „Mein ältester Sohn hat rote Haare.“ Aus dieser Aussage konnte Pawel schließen, dass der älteste Sohn (Singular! hier genau auf die Formulierung achten!), sich von den anderen beiden Söhnen im Alter unterschied. Somit ist eindeutig, dass die Söhne 9 und 2, und noch mal 2 Jahre alt sind.

Mit der Kombination 1-6-6 (in der Summe auch 13) hätte es nämlich mehrere (Plural) älteste Söhne gegeben, Pawel sprach jedoch von seinem ältesten Sohn Kolja in seiner letzten Aussage im Singular. Die Kombination 1-6-6 konnte also auch nicht korrekt sein, 2-2-9 bleibt übrig.