Rätsel: 100 Zwerge in Las Vegas

By Michael Bechmann Date 2016-10-08 17:58 Edited 2016-10-08 18:42

Wenn die je 1 Mütze beliebig verteilt werden, braucht man eigentlich die Türen nicht nummerieren.

Die Chance bei n Türen und n/2 Versuchen seine Mütze zu finden ist p=1/2

Bsp.: 4 Türen: 3/4*2/3=6/12 = 1/2
6 Türen: 5/6*4/5*3/4 = 60/120 = 1/2

100 Türen: 99/100*98/99 ... 50/51 = auch 1/2? --> ist nachzurechnen, viel Tipparbeit

Allerdings: der Zähler und der Nenner des nächsten Faktors kürzt sich jeweils (99/100, 98/99, 97/98 usw.) - Das verkürzt die Rechnerei und am Ende bleibt 50/100 (der letzte Zähler 50 durch den ersten Nenner 100), also 1/2.

Ich will mal vorsichtig annehmen, dass also ein Zwerg seine Mütze nebst Goldklumpen mit p=1/2 bis zum 50. Versuch findet.."

Zum Aufgabentext:
Der 1. Zwerg findet seine Mütze oder auch nicht, geht glücklich (1/2) oder enttäuscht (auch 1/2) durch den Hinterausgang und nun warten noch 99 Zwerge und so wird jeweils die Anzahl der wartenden Zwerge von Mal zu Mal weniger.

>"Das Spiel ist gewonnen, wenn alle 100 Zwerge in einem Durchgang mit jeweils maximal 50 Versuchen pro Zwerg ihre eigene Mütze finden"

Für das Spiel an sich ist eine Wahrscheinlichkeit von (1/2)^100 sein, also sehr gering.
Bis der letzte Zwerg dran war werden Z Zwerge (Z=Binomialverteilung mit Erwartungswert 50) ihre Mütze gefunden haben.

By Frank Brenner Date 2016-10-08 18:52

Hallo Michael,

soweit so richtig. Du bist also voll drin im Rätsel und verstehst worum es geht:

Bei 100 Zwergen die hintereinander drankommen wäre die W'keit daß alle ihren Hut finden dann 1/2 ^ 100, also praktisch 0 - wenn sich die Zwerge vorher keine Strategie ausgedacht hätten.

Das haben sie aber!

Durch diese Strategie schaffen es alle 100 Zwerge hintereinander zu mehr als 25% alle ihren Hut zu finden. Es ist keine Schummellösung (zb mit den Augen blinzeln oder die Tür anritzen)

Gesucht ist: (a) Die Strategie und (b) die Begründung.

Die Begründung ist nötig, da es möglich ist die Strategie per Zufall zu finden, denn sie ist gar nicht so schwer wie man meint, obwohl sie intuitiv ausgedrückt das unmögliche möglich macht.

Grüße
Frank

By Michael Bechmann Date 2016-10-08 19:06 Edited 2016-10-08 19:09

Diagramm (neuer Beitrag, ich lasse mich nicht ständig durch die Bearbeitungszeit gängeln!)

Wieviele Zwerge (Z von 100) bekommen p = 1/2 die richtige Mütze?

Die angegebenen p=0,3 habe ich bisher nicht begründen können.

By Frank Brenner Date 2016-10-08 19:24

Hallo Michael,

so ist es wenn die Zwerge sich nicht vorab absprechen und per Zufall irgendwelche 50 Türen öffnen wenn sie dran sind.

Nun musst du aber eine Strategie finden die sowas von mächtig ist, dass in deiner Häufigkeitsverteilung bei n=100 ein Balken steht der Höhe von etwa 0.3 besitzt.

Wichtig dabei: Während des Spiels gibt es keine Informationsübermittlung. Ein Zwerg braucht noch gar nicht mal zu wissen an wievielter Stelle er vom Moderator aufgerufen wird. Im Grunde könnten die Zwerge sogar alle im Einzelzimmer sein und persönlich vom Moderator abgeholt werden wobei dann selbst der letzte nicht entscheiden könnte ob er der erste ist bzw wieviele bereits vor ihm dran waren.

Grüße Frank

By Michael Bechmann Date 2016-10-08 20:24 Edited 2016-10-08 20:57

>"weil die Zwerge während des Gesamten Spiels keinerlei Informationen (direkt oder indirekt) weitergeben dürfen."

Deswegen bin ich auch davon ausgegangen, dass sich die Zwerge nicht absprechen können. Er geht durch den Hinterausgang und die anderen Zwerge sehen ihn nicht mehr wieder.
Die übrigen Zwerge haben ohne Information, dass die vorher aufgerufenen Zwerge ihre Mützen gefunden haben. Aber diese Information dürfte auch nicht entscheidend sein.

Immerhin hat jeder einzelne Zwerg eine Chance von 50%, aber nur bis einer seine Mütze in 50 Versuchen nicht findet.
Wer aber die Mütze findet, bevor ein anderer Zwerg seine Mütze nicht gefunden hat, der wird doch nicht wieder enteignet (Goldklumpen wieder abgeben).

Das heißt, dass im schlechtesten Fall (p=50%) gar keiner Gold bekommt, nämlich dann, wenn schon der erste Zwerg erfolglos ist.

By Frank Brenner Date 2016-10-09 02:37

Genau, wenn ein Zwerg erfolglos ist dann kriegt am Ende überhaupt keiner das Gold.

Die Zwerge erfahren dies aber erst ganz am Ende wenn alle 100 Zwerge es versucht haben.

Naja, der Moderator könnte das Spiel natürlich auch verkürzen und beenden sobald ein Zwerg bei 50 geöffneten Türen seinen eigenen Hut nicht findet.

Für das Rätsel ist dies jedoch unbedeutend.

By Emil Vlasák Date 2016-10-08 20:37

Mein Deutsch ist nicht sehr gut, und vielleicht verstehe ich nicht richtig.
Aber zahlen Sie mit mir.
Der erste Zweig hat keine Information, so er hat immer Wahrscheinlichkeit 0.5.
Um die Wahrscheinlichkeit über 0.3 zu erhalten sollte der zweite Versuch Erfolgsrate von mindestens 0.6 haben (0.5*0.6=0.3). Das ist ungefähr 50/80 und es heißt sicher 20 Türen zu eliminieren schon in dem zweiten Versuch!!
Ja, die Zwerge wissen im Voraus welche Türen und in welcher Reihenfolge getestet werden. Vielleicht können sie sogar schätzen (durch Zeitmessung) die richtige Tür, wo die Mütze gefunden wurde. Aber es ist nicht genügend 20 Türen zu eliminieren.
So scheint es mir, dass das Problem nicht ohne einigen Trick gelöst wird, um mehr Informationen zu erhalten. Zum Beispiel ist es möglich Goldklumpen zu bewegen?
Emil

By Frank Brenner Date 2016-10-09 02:46 Edited 2016-10-09 02:49

Zitat:

Der erste Zweig hat keine Information, so er hat immer Wahrscheinlichkeit 0.5.

Das ist richtig.

Zitat:

Um die Wahrscheinlichkeit über 0.3 zu erhalten sollte der zweite Versuch Erfolgsrate von mindestens 0.6 haben (0.5*0.6=0.3). Das ist ungefähr 50/80 und es heißt sicher 20 Türen zu eliminieren schon in dem zweiten Versuch!!

Du bist auf der richtigen Spur !

Zitat:

Vielleicht können sie sogar schätzen (durch Zeitmessung) die richtige Tür, wo die Mütze gefunden wurde. ... Zum Beispiel ist es möglich Goldklumpen zu bewegen?

Zeitmessungen und Informationsübertragung durch "Delays" oder ähnlichem sind nicht erlaubt.

Die Mützen und die Goldklumpen dürfen nicht bewegt werden.

Während des Spiels darf ein Zwerg überhaupt keine Information an die anderen Zwerge übermitteln.

Zitat:

So scheint es mir, dass das Problem nicht ohne einigen Trick gelöst wird, um mehr Informationen zu erhalten.

Die Strategie ist relativ einfach.

Es ist kein Fauler Trick. (It is NOT a lazy trick)

If you have any questions please feel free to ask in english.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-09 17:12

Hi!

Vielleicht hab ich die Frgestellung doch noch nicht ganz verstanden.

Frank Brenner schrieb:

Zitat:

Der erste Zweig hat keine Information, so er hat immer Wahrscheinlichkeit 0.5.

Das ist richtig.

Wenn es so ist, dass der erste Zwerg immer zu 50% verliert, kann doch die Gesamtwahrscheinlichkeit gar nicht über 50% steigen.

Wenn doch, würde ich das Rätsel gerne auf 36 Türen übertragen und im Casino abräumen. Wie spannend.

Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-10-09 17:58

Hallo Wolfram,

zu deinen beiden Fragen:

1.
Während eines Spieles gehen nacheinander 100 Zwerge in den Raum mit den 100 Türen und dürfen jeweils maximal 50 Türen öffnen.
Danach beginnt das nächste Spiel. Am Anfang eines Spiels verteilt der Moderator die Hüte mit den Goldklumpen stets auf ein neues und zwar rein zufällig.

2. Wenn der erste Zwerg in den Raum mit den 100 Türen geht, so kann er beliebige Türen öffnen: Die W'keit beträgt exakt 50% dass er dabei seinen Hut findet, wenn er nur 50 Türen öffnen darf.
Das ist im Grunde schon ein klitzekleiner Hint für die Lösung. Selbst wenn er stets Tür 1-50 öffnet beträgt die W'keit 1/2.

Am Ende des Spiels, also nachdem alle 100 Zwerge jeweils maximal 50 Türen geöffnet haben, müssen zwingend ALLE 100 Zwerge mit ihren maximal 50 Türen die sie öffnen dürfen ihren Hut gefunden haben um das Spiel zu gewinnen.

Bitte frag wenn noch etwas unklar ist.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-10 14:17

Hi Frank!

Obwohl ich glaube, dass eine Lösung gibt (sonst hättest Du es nicht gepostet), möchte ich einen Gegenbeweis versuchen.

Da es keinen Rückfluss von Information gibt, nachdem ein Zwerg im Raum der 100 Türen war, können die Zwerge ihre Strategie auch schon vollständig absprechen, bevor das Spiel begonnen hat.

Das heisst, die Türen, die jeder Zwerg öffnen wird, stehen bereits fest, bevor der erste den Raum betritt. Nennen wir das mal Schema.

Gleichzeitig ist die Verteilung der Mützen zufällig.

Man kann also alle möglichen Verteilungen der Mützen mit dem Schema der Zwerge vergleichen. Dabei ergibt sich, dass es die Chancen wie eingangs erwähnt (1/2)^100 gegen die Zwerge stehen - es gibt viel mehr Verlust-Mützenverteilungen als Gewinn-Mützenverteilungen gegenüber dem festen Zwergenschema.

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-10-10 15:32 Edited 2016-10-10 15:38

Hallo Wolfram,

für n=4 würde ja dann die W'keit 1/2 hoch 4 = 1/16 betragen.

Ich will dir hier eine Strategie mitteilen die ein kleines bißchen besser ist als 1/16 , nur um ein Gegenbeispiel zu deinem Beweis vorzuzeigen.

Um die Strategie einfacher zu machen geben wir den Zwergen Namen, nämlich Zahlen zwischen 1 - 4 so daß dem Zwerg i der Hut i gehört.

Die Strategie ist so: Zwerg 1 und Zwerg 2 öffnen die Türen 1&2; Zwerg 3 und Zwerg 4 öffnen die Türen 3&4

Es gibt 4! = 24 verschiedene Permutationen in denen der Moderator die Hüte hinter den Türen verteilt haben könnte.

Die 4 Zwerge gewinnen das Spiel mit dieser Strategie wenn der Moderator zufälligerweise folgende Hutverteilungen ausgewählt hat:

1234
2134
1243
2143

Insgesamt kann man also sagen, daß die vier Zwerge das Spiel dann zu 4/24 = 1/6 gewinnen, also schon mal deutlich besser als 1/16

Bei 100 Zwergen muss die Strategie aber signifikant mächtiger sein, denn 100 Zwerge werden zu rund 30% gewinnen.

Bitte lass dich aber durch dieses Beispiel nicht in die Irre führen: Du brauchst für die 100 Zwerge keine"monströs" komplizierte Verteilung zu finden. Die Lösung ist deutlich einfacher.

Es ist durchaus möglich, daß du sogar per Zufall die richtige Strategie findest

Die Strategie ist sogar so elementar, daß ich glaube dass viele Leser hier im Forum in ihrem Leben schon mal diese Vorgehensweise selbe erlebt haben.

Aus diesem Grund sollte dann auch eine Begründung dabei sein, wieso es sein kann dass die Lösungsstrategie so extrem (und zwar total entgegen der Intuition) erfolgreich ist.

Grüße Frank

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-10 16:06

Oh... interessant... in die Richtung hatte ich gedacht... hätte ich das mal mit Zahlen ausprobiert... dann mache ich da mal weiter...

By Frank Brenner Date 2016-10-10 00:17

achso, also die Zwerge sollen am Ende des Spiels, also wenn alle 100 Zwerge dran gewesen sind, in 30% der Fälle das Spiel gewonnen haben. D.h. in 30% der Fälle müssen alle 100 Zwerge ihren Hut finden.

(auf den exakten Wert 30% kommt es nicht drauf an, es reicht auch zb 20%)

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-12 11:27

Verdammt!

Ich habe die Lösung - aber warum genau das funktioniert muss ich noch verstehen....

By Frank Brenner Date 2016-10-12 12:18

Sehr gut !

Hast du die Strategie programmiert ?

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-12 12:21

Ja.
Also ich habe natürlich mit mehreren rumprobiert.

Dann habe ich die Aufgabe nochmal gelesen. Dabei ist mir erst aufgefallen, dass ein fündig gewordener Zwerg seine Mütze mitnimmt.
Gleichzeitig haben wir hier im Kollegenkreis das Problem hin- und hergewälzt.

Weil ich eh schon Code hatte, habe ichs dann ausprobiert. Erstaunlich.

By Frank Brenner Date 2016-10-12 12:25

> Dabei ist mir erst aufgefallen, dass ein fündig gewordener Zwerg seine Mütze mitnimmt.

Nein, der Zwerg nimmt die Mütze nicht mit. Ganz im Gegenteil: die Mütze bleibt dort und die Tür wird wieder verschlossen und alle Spuren die der Zwerg verursacht hat werden weggewischt, so daß die nächsten Zwerge überhaupt nicht erkennen können was hinter dieser Tür ist und ob diese Tür jemals schon mal geöffnet wurde.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-12 12:30

Okay. Dann bleiben die Mützen da, wo sie sind. Spielt eigentlich auch keine so große Rolle.

Bzw... vielleicht könnte man die Chancen noch höher als 30% bekommen, wenn Mützen mitgenommen werden könnten.

By Frank Brenner Date 2016-10-12 21:41

Wolfram hat die richtige Lösung gefunden und sogar auch richtig begründet und hat den wesentlichen Punkt in der Argumentation gefunden.

Das ist echt eine hervorragende Leistung!

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-12 21:44

Oh, danke.

Ist aber vor allem ein sehr geiles Rätsel. Das Ergebnis kannte ich nicht und ich bin sicher, dass man die Lösung im Software-Entwickler-Alltag irgendwann mal brauchen kann. Wirklich super.

Wo hast Du das denn her? Ist das wieder son Martin Gardner Klassiker oder sowas?

Begeistert,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-10-12 22:08 Upvotes 1

Es ist bekannt unter dem Namen "The Locker Puzzle".

Unter diesem Link ist die Lösung und und ein sehr anschaulicher Beweis.

https://www.cl.cam.ac.uk/~gw104/Locker_Puzzle.pdf

In der Wikipedia ist auch ein Artikel darüber mit einem interessanten Abschnitt über die Geschichte dieses Rätsels.

https://de.wikipedia.org/wiki/Problem_der_100_Gefangenen

By Frank Brenner Date 2016-10-12 23:03 Upvotes 1

Ergänzung zur Lösung:

Grundsätzlich ist es so, daß jeder der 100 Zwerge - selbst mit dieser Strategie - nur zu 50% seinen Hut findet.

Allerdings sind diese 100 Zufallsereignisse sehr stark voneinander abhängig, D.h:

Wenn der erste Zwerg seinen Hut findet (zu exakt 50%) dann findet der zweite Zwerg seinen Hut schon zu etwa 75% und wenn die ersten zwei Zwerge ihren Hut finden, dann findet der dritte seinen Hut zu 88% , dann 96% , dann 98% usw...
Das Produkt dieser W'keiten ist die Erfolgsw'keit.
Eine andere Herleitung für die Erfolgsw'keit gibt es in der Wiki und im PDF.

Daß diese Steigung, also letzlich die Abhängigkeit der Zufallsereignisse, notwendig ist hat übrigens auch Emil Vlasák herausgefunden!

Die Abhängigkeit kann man auch beobachten, weil wenn der erste Zwerg seinen Hut findet, er auf einen Zyklus trifft der kürzer ist als 50.
Sagen wir mal der erste Zyklus hat die Länge 13. Dann ist die W'keit dafür, dass sich in den restlichen 87 Permutationszuordnungen ein 'böser' Zyklus der länger ist als 50 befindet signifikant kleiner als 50% .
Wenn der zweite Zwerg auf einen Zyklus trifft der Länge z.B. 11 trifft, dann ist die W'keit daß in den restlichen 76 Permutationszuordnungen ein böser Zyklus (länger als 50) dabei ist nochmal deutlich geringer ...
Auf diese Weise steigt also die W'keit, daß der k-te Zwerg seinen Hut findet, wenn die ersten k-1 Zwerge ihren Hut bereits gefunden haben, rapide schnell auf 100%.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-13 11:33

Jetzt müsste man eigentlich noch ausrechnen, dass die W'keit, dass bei zufälliger Verteilung ein böser Zyklus entsteht bei ca. 70% liegt.
Aber das übersteigt meine Fähigkeiten um mehr als 70%

By Frank Brenner Date 2016-10-13 18:22

Zitat:

Aber das übersteigt meine Fähigkeiten um mehr als 70%

Das ist sogar sehr einfach zu verstehen. Bei Wikipedia gibt es die Herleitung im Abschnitt "Erfolgswahrscheinlichkeit"

Das einzige was man hier wissen muss ist, dass man n Elemente in n! vielen Kombinationen anordnen kann (Permutation) und daß ein Zyklus aus k Elementen nicht k! Permutationen hat sondern nur (k-1)!, da jeder zyklus k-mal geshiftet werden kann , also zb für k=3: (4,7,9) = (7,9,4) = (9,4,7), daher wird k! durch k geteilt. Also alles mathe aus der Klasse 11.

By Emil Vlasák Date 2016-10-15 16:20

Very nice puzzle, I did not believe that it has a clean solution.
Because we are a computer forum and not a math one, here is a small simulation.

Emil

Code:

var loc : array[1..100] of integer;
    games, wins: integer;
    prob: real;

procedure NewGame;
  var i, j, k, tmp: integer;
 begin
  for i:=1 to 100 do loc:=i;
  Randomize;
  for i:=1 to 1000 do begin
   j:=1+Random(100); //1..100
   k:=1+Random(100); //1..100
   tmp:=loc[j];
   loc[j]:=loc[k];
   loc[k]:=tmp;
  end;
 end;

function Mission(player: integer): Boolean;
var where, counter: integer;
 begin
   where:=player;
   counter:=0;
   repeat
     inc(counter);
     if counter>50 then begin result:=false; exit; end;
     if loc[where]=player then begin result:=true; exit; end; //success
     where:=loc[where];
   until false ;
 end;

function Game: Boolean;
 var player: integer;
 begin
  NewGame;
  result:=false;
  for player:=1 to 100 do begin
   if not Mission(player) then exit;
  end;
  result:=true;
 end;

begin  //main
  writeln('Locker Puzzle simulation EVCOMP 2016');
  wins:=0;
  for games:=1 to 100000 do begin
   if Game then inc(wins);
   prob:=wins/games;
   if (games mod 1000)=0 then writeln(Format('Games %7d Prob %1.5f',[games, prob]));
  end;
end.

Locker Puzzle simulation EVCOMP 2016 Games 1000 Prob 0,30900 Games 2000 Prob 0,31550 Games 3000 Prob 0,31467 Games 4000 Prob 0,31075 Games 5000 Prob 0,31280 Games 6000 Prob 0,30950 Games 7000 Prob 0,31314 Games 8000 Prob 0,31000 Games 9000 Prob 0,30844 Games 10000 Prob 0,31120 Games 11000 Prob 0,31100 Games 12000 Prob 0,30983 Games 13000 Prob 0,30962 Games 14000 Prob 0,31129 Games 15000 Prob 0,31247 Games 16000 Prob 0,31269 Games 17000 Prob 0,31194 Games 18000 Prob 0,31261 Games 19000 Prob 0,31395 Games 20000 Prob 0,31405 Games 21000 Prob 0,31343 Games 22000 Prob 0,31368 Games 23000 Prob 0,31361 Games 24000 Prob 0,31388 Games 25000 Prob 0,31316 Games 26000 Prob 0,31250 Games 27000 Prob 0,31148 Games 28000 Prob 0,31107 Games 29000 Prob 0,31148 Games 30000 Prob 0,31143 Games 31000 Prob 0,31139 Games 32000 Prob 0,31159 Games 33000 Prob 0,31094 Games 34000 Prob 0,31079 Games 35000 Prob 0,31080 Games 36000 Prob 0,31114 Games 37000 Prob 0,31051 Games 38000 Prob 0,31034 Games 39000 Prob 0,31051 Games 40000 Prob 0,31093 Games 41000 Prob 0,31059 Games 42000 Prob 0,31088 Games 43000 Prob 0,31084 Games 44000 Prob 0,31145 Games 45000 Prob 0,31162 Games 46000 Prob 0,31213 Games 47000 Prob 0,31194 Games 48000 Prob 0,31219 Games 49000 Prob 0,31194 Games 50000 Prob 0,31184 Games 51000 Prob 0,31204 Games 52000 Prob 0,31229 Games 53000 Prob 0,31245 Games 54000 Prob 0,31230 Games 55000 Prob 0,31220 Games 56000 Prob 0,31239 Games 57000 Prob 0,31282 Games 58000 Prob 0,31302 Games 59000 Prob 0,31305 Games 60000 Prob 0,31302 Games 61000 Prob 0,31275 Games 62000 Prob 0,31263 Games 63000 Prob 0,31268 Games 64000 Prob 0,31256 Games 65000 Prob 0,31232 Games 66000 Prob 0,31233 Games 67000 Prob 0,31285 Games 68000 Prob 0,31243 Games 69000 Prob 0,31243 Games 70000 Prob 0,31213 Games 71000 Prob 0,31224 Games 72000 Prob 0,31218 Games 73000 Prob 0,31212 Games 74000 Prob 0,31216 Games 75000 Prob 0,31244 Games 76000 Prob 0,31254 Games 77000 Prob 0,31277 Games 78000 Prob 0,31272 Games 79000 Prob 0,31275 Games 80000 Prob 0,31296 Games 81000 Prob 0,31311 Games 82000 Prob 0,31318 Games 83000 Prob 0,31313 Games 84000 Prob 0,31315 Games 85000 Prob 0,31342 Games 86000 Prob 0,31295 Games 87000 Prob 0,31279 Games 88000 Prob 0,31249 Games 89000 Prob 0,31224 Games 90000 Prob 0,31194 Games 91000 Prob 0,31223 Games 92000 Prob 0,31207 Games 93000 Prob 0,31199 Games 94000 Prob 0,31205 Games 95000 Prob 0,31216 Games 96000 Prob 0,31203 Games 97000 Prob 0,31193 Games 98000 Prob 0,31191 Games 99000 Prob 0,31208 Games 100000 Prob 0,31206

By Frank Brenner Date 2016-10-17 02:35

Hi Emil,

congratulations, this is the right solution.

Btw: There was paper magazine of CSS from 1983 until 2006 (Computerchess and Games). In this magazine there were introduced many really very brilliant logic puzzles.

I don't know if there is a relationship between the theretic ability of playing good chess and the theoretic ability of solving logic and math puzzles.
I think it was John Nunn who mentioned that getting GM is a much more demanding than to receive a PhD.

best wishes
Frank

By Wolfram Bernhardt Date 2016-10-09 16:43

Hi!

Obwohl ich im Moment wenig Zeit habe schnell diese Frage:

Frank Brenner schrieb:

Und Tatsächlich: mit dieser (vorab ausgehandelten) Strategie gewinnen die Zwerge das vierte und das siebte von insgesamt 8 Spielen

...

Die Mützen bleiben stets hinter den Türen liegen und die Positionen der Mützen werden nie verändert.

...

Wenn die Mützen niemals ihre Position ändern, sollte die Zwerge nach dem vierten Spiel, das sie ja gewinnen, jedes folgende Spiel auch gewinnen.
Ich vermute also, für jeden Durchgang werden die Mützen neu verteilt und nur innerhalb eines Durchgangs nicht neu gemischt.

Wolfram