nochmal zu den Wahrscheinlichkeiten

By Olaf Jenkner Date 2016-09-12 18:19

Hallo an alle,

ich habe mal versucht, den Sachverhalt etwas verständlicher darzustellen.

Aufgabe 1:

Bei einer Familie mit zwei Kindern ist das jüngere ein Junge.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch das andere
Kind ein Junge ist?

Aufgabe 2:

Eine Familie mit zwei Kindern hat einen Jungen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch das andere
Kind ein Junge ist?

Aufgabe 3:

Eine Familie mit zwei Kindern hat einen Jungen, welcher an
einem Montag geboren ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch das andere
Kind ein Junge ist?


Antwort 1:

Die Geburt des zweiten Kindes ist unabhängig vom ersten.
Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen weiteren
Jungen 50%.

Antwort 2:

Wir wissen nicht, ob der Junge das erste oder zweite Kind
ist. Deshalb betrachten wir alle möglichen Kombinationen
für die Geburt von Jungen bzw. Mädchen für Familien mit 
zwei Kindern. Diese Fälle sind gleich wahrscheinlich.

1) Kind 1 ist ein Junge,   Kind 2 ist ein Junge
2) Kind 1 ist ein Junge  , Kind 2 ist ein Mädchen
3) Kind 1 ist ein Mädchen, Kind 2 ist ein Junge
4) Kind 1 ist ein Mädchen, Kind 2 ist ein Mädchen

Weil wir wissen, daß es einen Jungen gibt, kann Fall 4
nicht auftreten. Unsere Grundgesamtheit ist damit von vier
Fällen auf drei geschrumpft. In einem davon ist das andere 
Kind ein Junge. Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit für 
einen weiteren Jungen 33%.

Antwort 3:

Wir wissen nicht, ob der Junge das erste oder zweite Kind
ist. Außerdem wissen wir nicht, an welchem Wochentag das
andere Kind geboren wurde.
Um gleich wahrscheinliche Fälle zu erhalten, bilden
wir alle Kombinationen, das sind allerdings 2*7*2*7=196.

Beispiele:
  1) Kind 1 ist ein Junge, geboren am Montag, Kind 2 ist ein Junge, geboren am Montag
  7) Kind 1 ist ein Junge, geboren am Montag, Kind 2 ist ein Junge, geboren am Sonntag
  8) Kind 1 ist ein Junge, geboren am Montag, Kind 2 ist ein Mädchen, geboren am Montag
 14) Kind 1 ist ein Junge, geboren am Montag, Kind 2 ist ein Mädchen, geboren am Sonntag
196) Kind 1 ist ein Mädchen, geboren am Sonntag, Kind 2 ist ein Mädchen, geboren am Sonntag

Wir unterscheiden acht Arten (GJ: Glücksjunge, geboren am Montag, PJ: Pechjunge)

1) Kind 1 ist ein Junge, geboren am Montag, Kind 2 ist ein Junge, egal wann geboren                1*7= 7  GJ   J
2) Kind 1 ist ein Junge, geboren am Montag, Kind 2 ist ein Mädchen, egal wann geboren              1*7= 7  GJ   M
3) Kind 1 ist ein Junge, geboren nicht am Montag, Kind 2 ist ein Junge, geboren am Montag          6*1= 6  PJ  GJ
4) Kind 1 ist ein Junge, geboren nicht am Montag, Kind 2 ist ein Junge, geboren nicht am Montag    6*6=36  PJ  PJ
5) Kind 1 ist ein Junge, geboren nicht am Montag, Kind 2 ist ein Mädchen, egal wann geboren        6*7=42  PJ   M
6) Kind 1 ist ein Mädchen, egal wann geboren, Kind 2 ist ein Junge, geboren am Montag              7*1= 7   M  GJ
7) Kind 1 ist ein Mädchen, egal wann geboren, Kind 2 ist ein Junge, geboren nicht am Montag        7*6=42   M  PJ
8) Kind 1 ist ein Mädchen, egal wann geboren, Kind 2 ist ein Mädchen, egal wann geboren            7*7=49   M   M

Unmöglich sind alle Kombinationen, bei denen GJ nicht vorkommt. 
Wenn wir diese entfernen, schrumpft unsere Grundgesamtheit auf 
die Arten 1, 2, 3 und 6.  Das sind 7+7+6+7=27 Fälle.

Jetzt schauen wir, wie häufig ein zweiter Junge dabei ist.
Wir erhalten die Arten 1 und 3. 
Damit haben wir in 7+6=13 von 27 Fällen einen weiteren Jungen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 13/27, also rund 48,1%.

Während man den Unterschied der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2
noch gut gefühlsmäßig nachvollziehen kann, fällt es schwer einzusehen,
daß allein die Kenntnis des Wochentags der Geburt eines Kindes
das Ergebnis so stark verändert. An irgendeinem Tag ist doch jedes
Kind geboren, warum spielt er da überhaupt eine Rolle?
Der Grund ist, daß wir uns damit a priori festlegen. Aus der
Grundgesamtheit von 196 Fällen fallen 169 heraus!
Deshalb berechnen wir nicht die Wahrscheinlichkeit, daß eine beliebige
Zwei-Kind-Familie mit einem Jungen noch einen weiteren hat. Wir
verzerren die Grundgesamtheit dahingehend, daß Familien, bei denen
das weitere Kind zu ungefähr 2/3 ein Mädchen ist, entfernt werden.

Nimmt man als Geburtstag keinen Wochentag, sondern z.B. den
1. Januar, dann erhält man fast genau 50% Wahrscheinlichkeit
dafür, daß das weitere Kind ein Junge ist.

By Frank Brenner Date 2016-09-12 19:47

Hallo Olaf,

bleiben wir mal bei Aufgabe 2. Ich schreib sie nochmal hier hin, so wie du sie gestellt hast

Zitat:

Aufgabe 2:

Eine Familie mit zwei Kindern hat einen Jungen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch das andere
Kind ein Junge ist?

Wenn du von allen Familien diejenige Familien zum Mond schießt wo kein Junge dabei ist, und von den übriggebliebenen Familien die W'keit wissen möchtst dass dort 2 Jungs sind, dann beträgt die W'keit 1/3

Wenn du allerdings niemanden zum Mond schickst, sondern eine beliebige Familie auswählst und an der Haustür klingelst und ein kleiner Junge macht die Tür auf, dann beträgt die W'keit dass in dieser Familie zwei Jungs leben 50%
Wenn dieser Junge dir die Tür öffnet dir sein Geburtswochentag mitteilt - z.B "Hallo Olaf, ich heiße Kevin und ich bin an einem Montag geboren"., dann beträgt die W'keit dass das andere Kind ein Junge ist ebenfalls 50%

Wenn allerdings von vorneherein aus Deutschland alle Familien zum Mond geschossen werden wo nicht wenigstens ein Montagsgeborener Junge wohnt, dann beträgt die W'keit 13/27 - was ja auch sehr einfach zu verstehen ist, da Familien mit JJ beinah doppelt so viel Chancen haben auf der Erde zu bleiben als Familien wo nur ein Junge wohnt.

Du siehst: deine Rätsel in der Form wie du sie gestellt hast sind nicht eindeutig.
In dieser unvollständig formulierten Fassung gibt es zumindestens zu 2. und 3. keine eindeutige Lösung. Bei Rätsel 1 führen die meisten Interpretationen zu 50%; hier merkt man die Unvollständigkeit daher nicht, da fast immer das gleiche herauskommt. Unvollständig ist aber selbst Rätsel 1 trotzdem.

Diese uneindeutige Formulierung führt weltweit - selbst bei Mathematikern - zu eingeschlagenen Köpfen.

Grüße
Frank

By Michael Bechmann Date 2016-09-12 21:11 Edited 2016-09-12 21:17

Zitat:

Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen weiteren
Jungen 50%.

Frage 1: Mit der Formulierung "Deshalb" sollte man hier bedachtsam umgehen, denn ein Bevölkerungsstatistiker wird zunächst darauf hinweisen, dass Jungen und Mädchen nicht zu 50% gleichverteilt geboren werden. Stattdessen gibt es regionale Unterschiede, ggf. durch Umweltfaktoren bedingt. So ist eine Kausalität ("deshalb") - völlig unabhängig des Geschlechtes des anderen Kindes - nicht gegeben.

By Olaf Jenkner Date 2016-09-12 21:15

Daß die Aufgabenstellung eine idealisierte Modellannahme ist, sollte jedem klar sein. Insofern ist dein Beitrag hier fehl am Platz.

By Michael Bechmann Date 2016-09-12 21:26 Edited 2016-09-12 21:44

Wir wollen mal davon ausgehen, dass die Verteilung M oder J mit 50% eintreten.

Aufgabe 2: Eine Familie mit zwei Kindern hat einen Jungen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch das andere
Kind ein Junge ist?
"

Ich verstehe die Frage so, dass
a) Die Familie 2 Kinder hat, davon eines ein Junge.
b) Nach Formulierung richtet sich das Geschlecht des 2. Kindes nach dem 1. Kind.
Ist Nr.1 ein Mädchen, muss Nr. 2 ("das andere") ein Junge sein und umgekehrt.

1) Kind 1 ist ein Junge, Kind 2 ist ein Junge
2) Kind 1 ist ein Junge , Kind 2 ist ein Mädchen
3) Kind 1 ist ein Mädchen, Kind 2 ist ein Junge
4) Kind 1 ist ein Mädchen, Kind 2 ist ein Mädchen

Lösungsvarianten: > "Weil wir wissen, daß es einen Jungen gibt, kann Fall 4
nicht auftreten". richtig: 0 ist ungleich 1.

Aber auch Fall 1) kann nicht auftreten, denn dann wären es 2 Jungen und auch 2 ist ungleich 1.

Es bleiben also die Fälle 2 und 3 und das führt zu einer Wahrscheinlichkeit von 2/4 = 50%.

By Michael Bechmann Date 2016-09-12 21:49 Edited 2016-09-12 22:49

Aufgabe 3: [in Bearbeitung]

Aufgabe 3:

Eine Familie mit zwei Kindern hat einen Jungen, welcher an
einem Montag geboren ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch das andere
Kind ein Junge ist?

Ich versuche, eine geschlossene Formel zu finden, welche die 8 Unterfälle vermeidet.

- Zunächst habe ich mich an die "mathematische Werkzeugkiste" erinnert und versuche 2 verschiedene Ereignisse zu trennen:
A = Wochentag
B = Geschlechter (J oder M)
Wenn das so funktioniert, könnte man die Bayes-Regel (siehe Mathematikunterricht aus der Schule) versuchen anzuwenden.
Ich habe das aber nicht weiter verfolgt, denn ich fand ein zusätzliches Problem, dass es für den Fall "J" Unterfälle gibt nämlich Montagsjungen (p=1/7) und Nichtmontagsjungen (p=6/7)

- Anderer Versuch: Logik zu probieren.
Wieder 2 Ereignisse, aber anders definiert:

Fall 1: M = ein Jungen, welcher an einem Montag geboren ist.

Was kann nun mit dem anderen Kind passiert sein?
Das Geschlecht kann M sein (1/2) oder ein J (auch 1/2)
Für jeden Wochentag kann man (unabhängig M oder J) eine Wahrscheinlichkeit von 1/7 ansetzen.
Somit hat man eine Wahrscheinlichkeit von 1/2*1/7=1/14 für 14 gleichwahrscheinliche Kombinationen (M-Mo; J-Mo ... J-So).

Fall 2: N = ein Junge, welcher nicht an einem Montag geboren ist.

(Fall, dass das 1. Kind ein Mädchen ist sind hier nach Aufgabenstellung nicht zu diskutieren)

Hier scheint die Lösung gar nicht so viel anders aus wie im Fall 1. Der wesentliche Unterschied ist, dass nach Formulierung im Text J-Mo ausfällt und man bekommt eine andere Rechnung.
Ist das 2. Kind ein Mädchen, hat man für jeden Wochentag wieder p=1/14, zusammen also 7*1/14 = 1/2. Ist das 2. Kind ein Junge hat man nur p=1/13, zusammen also 6/13 (Der Montag ist hier ausgeschlossen!).

Zusammengenommen gibt es 14+13=27 Unter-Fälle, wobei sich die aus dem Hauptfall 1 ("Montagsjunge") nicht unterscheiden.

Soweit komme ich auch auf die 27 Unter-Fälle, wobei 13 davon (aus Fall 2) zur Lösungsmenge gehören (vgl. Muster-Lösung)

Allerdings würde ich nicht als Lösung p = 13/27 angeben, denn im Fall 2 sind die 13 Unterfälle nicht gleichwahrscheinlich ( p(M) = 1/14, aber p(J) = 1/13).

By Michael Bechmann Date 2016-09-12 23:12 Edited 2016-09-12 23:16

... Lösungsvariante (nicht sicher!)

(7/14) (7/14) (6/13)
------- + ------- + ------- = 51/104 = ca. 49%
2 4 4

Fall I Fall II (M) Fall II (J)

Rechnerisch müsste Fall II nochmals gleichberechtigt geteilt werden (Viertel).

By Frank Brenner Date 2016-09-13 15:31

Nachtrag:

Die Aufgabenstellungen 1-3 von Olaf sowie die ursprünglichen von Ulf Flörsheimer gestellten Aufgaben sind viel zu ungenau gestellt und lassen mehrere unterschiedliche Ergebnisse zu.

Ein berühmter französischer Mathematiker namens Joseph Bertrand hat bereits im 19. Jahrhundert ein Beispiel gegeben, welches - so ähnlich wie bei den "Ich habe 2 Kinder, eins davon ist ein Junge" Aufgaben - jenachdem wie der Leser die Aufgabe interpretiert unterschiedliche Lösungen hervorbringt.

Es ist sehr wichtig bei einer Aufgabenstellung den zugrunde gelegten Wahrscheinlichkeitsraum und die Methode wie das zu erörternde Ereignis ausgewählt wird schon bereits in der Aufgabenstellung explizit anzugeben.

https://de.wikipedia.org/wiki/Bertrand-Paradoxon_(Wahrscheinlichkeitstheorie)

By Maximilian Friedrich Date 2016-09-13 22:42

Wenn ich vielleicht auch etwas spät zur Diskussion hinzutrete und meine Stochastik-Kenntnisse doch sehr eingerostet sind.

Zu Antwort 2 Deiner Lösung:

Zitat:

"Wir wissen nicht, ob der Junge das erste oder zweite Kind
ist. Deshalb betrachten wir alle möglichen Kombinationen
für die Geburt von Jungen bzw. Mädchen für Familien mit
zwei Kindern. Diese Fälle sind gleich wahrscheinlich.

1) Kind 1 ist ein Junge, Kind 2 ist ein Junge
2) Kind 1 ist ein Junge , Kind 2 ist ein Mädchen
3) Kind 1 ist ein Mädchen, Kind 2 ist ein Junge
4) Kind 1 ist ein Mädchen, Kind 2 ist ein Mädchen"

Wenn man davon ausgeht, dass die Geburtsreihenfolge keine Rolle spielt (abgesehen davon, dass es sich um a priori unabhängige Ereignisse handelt und wir entgegen der typischen biologischen Quote eine J/M Geburt mit 50% annehmen), ist meines Erachtens nicht korrekt Fall 2 und 3 aufzuführen, sondern es gibt nur eben nur die Kombinationen
1 JJ
2 JM bzw MJ
3 MM

und da 3 unmöglich entsprechend Aufgabenstellung, verbleiben nur 2 Fälle und daher mit JJ eben 50% statt 33%.

Habe ich da jetzt was übersehen?

By Olaf Jenkner Date 2016-09-13 23:07

Maximilian Friedrich schrieb:

Habe ich da jetzt was übersehen?

Ja, denn JM kommt genauso häufig vor wie MJ, JJ und MM.
Ohne MM gibt es drei Fälle, von denen in einem Fall ein
zweiter Junge auftritt. Deshalb 33%.

By Maximilian Friedrich Date 2016-09-13 23:14

Genau das meine ich doch, es gibt keinen Unterschied zwischen JM oder MJ und es können nur die beiden Fälle JJ oder JM auftreten, denn JM=MJ und MM gehört nicht zur betrachteten Gesamtheit, es gibt aus meiner Sicht bei fehlender Geburtsreihen eben nicht "gleichviele" JM und MJ, weil es diese Unterscheidung gar nicht gibt.

Mit freundlichem Gruß,
max

By Olaf Jenkner Date 2016-09-13 23:23

Probiere es einfach aus:
Du nimmst zwei Euro-Münzen, eine Seite steht für einen Jungen, die andere für ein Mädchen.
Nach 20 Würfen hast du ein ziemlich gutes Ergebnis.
Tauschst du eine Münze gegen eine 50-Cent-Münze, dann kannst du gut Aufgabe 1 simulieren.
Die 50 Cent symbolisieren das erstgeborene Kind.

By Maximilian Friedrich Date 2016-09-13 23:35

Aufgabe 1?? Es geht doch um Aufgabe 2?

Ich würde das eher so sehen:
Ich habe 2 Münzen= Geburt, eine liegt bereits mit dem Ergebnis Kopf=Junge da, ob das nun die Münze für den ersten oder zweiten Wurf darstellt, bleibt egal, denn der Wurf erfolgt nur mit der anderen Münze und da kann ich nur 50% bekommen. Die als Ergebnis festgelegte Münze kann von mir aus auch senkrecht im Boden stecken bleiben und als Alien gewertet werden, für das unabhängige Ereignis der anderen Geburt spielt das keine Rolle. Ich werfe immer nur eine Münze, die andere wurde ja bereits als Ergebnis Junge/Kopf festgelegt und ist nicht zufällig.

By Olaf Jenkner Date 2016-09-13 23:46

Maximilian Friedrich schrieb:

Aufgabe 1?? Es geht doch um Aufgabe 2?

Münze 1: 50 Cent Münze 2: 1 Euro --> Aufgabe 1
Münze 1: 1 Euro Münze 2: 1 Euro --> Aufgabe 2