Noch ein Rätsel: Wahrscheinlichkeiten

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 20:41

Au weia. Bei Wahrscheinlichkeitsaufgaben liege ich immer daneben. Also mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%

Ich würde trotzdem dreimal 50% sagen. Weil die Geburt eines Kindes mit der eines anderen nichts zu tun hat.

Aber ich passe auf die anderen Antworten gut auf - hier kann ich wieder was lernen.

Viele Grüße,
Wolfram

By Ulf Flörsheimer Date 2016-08-28 20:47

Wolfram Bernhardt schrieb:

Ich würde trotzdem dreimal 50% sagen. Weil die Geburt eines Kindes mit der eines anderen nichts zu tun hat.

A priori betrachtet hast du sicher recht. Aber vielleicht hast du ja bei der einen oder anderen Aufgabe mehr Informationen ... wer weiß?

Ulf

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 20:52 Edited 2016-08-28 21:29

Es sind jeweils unabhängige Ereignisse. Man kann aus dem Geschlecht des ersten Kindes nichts ableiten was das Geschlecht des zweiten Kindes betrifft.

Auch der Wochentag der Geburt eines Kindes kann keine Rückschlüsse des Geschlechtes anderer Kinder geben.

also: in allen 3 Fällen 50%.

By Frank Brenner Date 2016-08-28 21:21 Edited 2016-08-28 21:30

Hallo Ulf,

die Rätsel gefallen mir sehr gut, weil man sie wirklich ohne blatt papier und ohne Stift lösen kann.
Die meisten sagen adhoc 50%, was natürlich falsch ist.

zu (1)
Wenn ein Junge dabei ist, dann kann es also JJ,JM,MJ sein - jeweils zu 33.33%

das andere Kind ist also zu 2/3 ein Mädchen, bzw zu 1/3 ein Junge.

Grüße
Frank

By Frank Brenner Date 2016-08-28 21:47

zu 2.

Hier sind es dann 50%

Denn wenn das ältere ein Junge ist, dann kann es nur noch JJ oder MJ sein.

zu 3.

der Fall ist äquivalent zu 1. selbst dann wenn der Junge das Rote T-Shirt trägt.

By Ulf Flörsheimer Date 2016-08-28 22:17

Frank Brenner schrieb:

zu 3.

der Fall ist äquivalent zu 1. selbst dann wenn der Junge das Rote T-Shirt trägt.

Die Sache mit dem T-Shirt dürfte wirklich nichts ändern, die mit dem Wochentag hingegen schon. Anders gesagt: Die Ergebnisse unterscheiden sich.

Ulf

By Frank Brenner Date 2016-08-28 23:47 Edited 2016-08-28 23:51

Donnerwetter. Ja du hast recht.

Die Wahrscheinlichkeit ist 13 / 27 , also rund 48,14 Prozent ! Das ist ja Verrückt!

Wenn ein Kind ein Junge ist der am Di geboren wurde dann gibt es folgende gleichwahrscheinliche Möglichkeiten

A:: Junge(Di) - { 14 Möglichkeiten }

B:: {14 Möglichkeiten } - Junge(Di)

Von diesen 28 Möglichkeiten müssen wir eine Möglichkeit entfernen, nämlich Junge(Di) - Junge(Di) , weil diese Möglichkeit in A:: und B:: vorkommt.

Bleiben also 27 Möglichkeiten übrig.

Von den 27 Möglichkeiten haben 13 Stück beidesmal Jungen und zwar 7 Stück in A:: und 6 Stück in B::

macht also (7+6)/27 = rund 48 Prozent.

Wenn wir jetzt ncoh eine vierte Frage dazufügen und zwar

4.
Herr Müller hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge und eines der Kinder wurde am Dienstag geboren wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Junge ist?

Dann Beträgt die Wahrscheinlichkeit 33% wie bei 1. Aber wenn das Kind der ein Junge ist am Dienstag geboren wurde, dann sind es 13/27.

Lieber Ulf.
Ich muss Dir wirklich sagen. Dies ist wirklich eins der besten Rätsel das ich kenne.
Vieeeelen Dank dass du es hier aufgeschrieben hast.

Grüße
Frank

By Frank Brenner Date 2016-08-29 00:01 Edited 2016-08-29 00:04

zugegebenermaßen:

Ich habs Dir zuerst nicht geglaubt, und wollte dir zeigen dass du verkehrt liegst. Das erschien mir aber aufwendig wegen der vielen Kombinationen von 14 x 14 = 196 Möglichkeiten.

Dann hab ich es schnell programiert und mein Programm zeigt 48 % an. *Umfall*
Dann hab ich gemerkt dass der Beweis gar nicht 196 Zeilen lang sein braucht wenn von den 196 nur diejenigen filtert wo ein Ju(Di) vorkommt.

Hier ist der Code:

Code:


 int i,cnt, cnt_junge;
    
    cnt = 0;
    cnt_junge = 0;
    
    for (i=0;i  < 10000000; i++)
    {
        
       int kind1, kind2;
       int wochentag1, wochentag2;
       
       kind1 = rand() % 2;  // 0 = junge, 1 = mädchen
       kind2 = rand() % 2;  // 0 = junge, 1 = mädchen
       
       wochentag1 = rand() % 7;  // 0 Montag  , 6 = Sonntag
       wochentag2 = rand() % 7; 
       
       if  (((kind1==0) && (wochentag1 == 1 )) ||  
           ((kind2==0) && (wochentag2  == 1)) )          // ein kind ist junge der am Di geboren wurde
           {
           
                  cnt++;
                  if  ((kind1==0) && (kind2==0))   cnt_junge++;   // beides sind jungs
               
           }
           
       
    }
    
    printf ("Ergebnis %d  %d  %f\n", cnt, cnt_junge, (double)cnt_junge / (double) cnt);

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-29 07:15

Hi!

Ich finde das sehr erstaunlich. Der genaue Wochentag spielt sicherlich keine Rolle, also wenn in der Frage statt Dienstag Mittwoch gestanden hätte, wäre es genauso.

Nun ist ja jedes Kind an irgendeinem Wochentag geboren. Dann würde das ja bedeuten, dass jede Familie, die bereits einen Sohn hat (der ja an einem Wochentag geboren ist), mit einer Wahrscheinlichkeit von 52% als nächstes ein Mädchen bekommt.

Und das würde ja der Ursprungbedingung widersprechen. Könnt Ihr das vielleicht noch genauer erklären?

Vielen Dank und viele Grüße,
Wolfram

By Ulf Flörsheimer Date 2016-08-29 07:33

Nein, das ist wiederum eine a priori Aussage: Die Wahrscheinlichkeit ist 50%. A posteriori-Wahrscheinlichkeiten sind etwas anderes.

Wenn du eine Münze bereits neunmal geworfen hast und immer "Kopf" hattest, ändert das nichts daran, dass der 10. Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% wieder "Kopf" ergibt. (Eine Münze hat eben kein Gedächtnis.) Hast du nun aber auch beim 10. Wurf "Kopf" geworfen und fragst dich, wie wahrscheinlich nun deine 10er-Serie war, ergibt das (1/2)^10 = 1/1024.

Vielleicht kennst du ja das Ziegenproblem: In einer Spielshow stehen 3 Garagen. In zweien sind Ziegen angepflockt (= Nieten), in der dritten steht ein schickes Cabrio. Du wählst dir jetzt ein Garagentor aus. Dann geht der Showmaster hin, und öffnet von den anderen beiden ein Tor, hinter dem eine Ziege steht und fragt dich, ob er jetzt "dein" Tor öffnen sollst oder ob du deine Wahl noch einmal überdenken möchtest und dich jetzt für das andere noch verschlossene Tor als "deines" entscheiden möchtest. Solltest du bei deiner ursprünglichen Wahl bleiben oder wechseln? Oder ist das egal? Wie argumentierst du? (Da du ja auch gerne programmierst, kannst du das Spiel ja auch simulieren ...)

Ulf

By Michael Bechmann Date 2016-08-29 08:28 Edited 2016-08-29 08:36

Ich würde wechseln auf die letzte verschlossene Tür tippen und die Chance auf den Gewinn somit verdoppeln.

Andererseits ist eine Ziege auch nicht schlecht. Die Pflege und die Unterhaltungskosten (Futter) ist im Vergleich zum Cabrio deutlich geringer.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-29 11:01 Edited 2016-08-29 11:23

Ja, das Ziegenproblem kenne ich und es ist eigentlich gar nicht so schwierig. Den meisten Leute kann man es sehr gut erklären, wenn man das Spiel dahingehend ändert, dass man anfangs 1000 Türen hat, von denen hinter 999 Ziegen stehen. Dann ist gut zu erkennen, dass man zunächst sehr sicher auf einer Ziege steht und nach dem Öffnen von 998 Türen durch Wechseln sehr sicher auf das Auto kommt.
(Und ich habe in Las Vegas 40$ verloren, weil 10 mal hintereinander nicht rot kam. War nicht schlimm, danach habe ich an einer Slot-Maschine 300$ gewonnen, weil zweimal die grüne Kuh kam

)

Ich kann auch die Argumentation in den anderen Fällen gut nachvollziehen. In Fall 1 hat man eingangs die Möglichkeiten JJ, JM, MJ und MM, wie Frank ja sehr schön dargelegt hat. Durch die Aussage, dass ein Junge dabei ist, fällt MM raus. Aus den noch übrigen Möglichkeiten ist ein Junge schon genannt, so dass zweimal M und einmal J übrige bleiben, was die Wahrscheinlichkeit 2/3 für M ausmacht.

Genauso funktioniert es auch in Fall 3. Es gibt für jedes Kind die Möglichkeiten (J, Montag), (J, Dienstag) usw., also 14 Möglichkeiten und für beide zusammen 14*14 Möglichkeiten. Durch die Aussage, dass ein Kind ein Dienstags-Junge ist, fallen einige davon heraus und es bleiben die 48% übrig.

Das ist nur so unglaublich gegen die Intuition.
Stellen wir uns vor, es gibt einen Stamm auf Borneo, bei dem die Woche 10 Tage hat. Und einen in Afrika, bei dem die Woche nur 2 Tage hat.

Wären die Wahrscheinlichkeiten in diesen Fällen bei der Aussage aus 3) anders? Vermute, ja.

Und das bedeutet, dass die Anzahl der Wochentage einer Kultur Einfluss auf die posteriori-Wahrscheinlichkeit des Geschlechts bereits geborener Kinder hat... das zu akzeptieren, weigern sich gewisse Bereiche meines Gehirns noch.

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-08-29 12:31 Edited 2016-08-29 12:34

Wolfram,

dein Beispiel mit den 1000 Türen ist sehr gut.

Wenn ich dein Moderator wäre würde ich mich aber so verhalten:

Also Starten wir hier einmal das Spiel mit mir als Moderator und dich als Kandidaten:

Ich würde dich bitten eine Tür von den 1000 auszuwählen.

Nur wenn du zufälligerweise die richtige Tür getippt hast, würde ich 998 weitere Türen öffnen, weil ich nämlich weiß - dass du als mathematischer Ziegenkenner - dann auf die einzig verbliebene falsche Tür wechselst.

Wenn du dagegen mit deiner Erstwahl zufällig die falsche Tür tippst, würde ich keine Sekunde mehr zögern und deine Tür öffnen.

:->
Hey, natürlich nicht. Ich würde Dir den gewinn gönnen und dir die nummer der richtigen Tür mitteilen.

Im Ernst:
Gehen wir wieder auf das klassiche Problem mit 3 Türen zurück:

Das Ziegenproblem wird im Internet auch von Mathematikern so weit ich das finden konnte immer fehlerhaft wiedergegeben:

mathematisch präziser man den Sachverhalt ergänzen:

Es ist nämlich NUR DANN empfehlenswert die Tür zu wechseln mit einer daraus resultierenden doppelten Gewinnwahscheinlichkeit, wenn es in den Regeln des Spiels verankert ist, dass der Moderator unabhängig von der Richtigkeit der Erstwahl entscheidet ob er dem Kandidaten eine Ziegen-Tür öffnet oder nicht.

Dies wäre zb der Fall, wenn in den Spielregeln steht, dass der Moderator STETS nach der Erstwahl des Kandidaten eine Tür mit einer Ziege öffnen muss.

In der realen Fernsehsendung gibt es so eine Regel aber nicht. Der Moderator kann frei entscheiden ob er dir eine weitere Tür öffnet oder nicht.
Wenn der moderator spürt dass der Kandidat ein internet-gebildeter Ziegenproblematiker ist wird er die Tür vermutlich eher nur dann öffnen wenn du mit deiner Erstwahl richtig lagst um dich dank deiner mathematischen Begabung zum Wechsel auf die falsche Tür zu locken.

Grüße
Frank

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-29 15:14

Hi Frank!

Ich kenne das Ziegenproblem in der Tat nur in der Variante, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine Ziege öffnen *muss*.

Eine Variante, in der sich der Moderator auch entscheiden kann, einfach nichts zu öffnen, ist z.B. auch hier https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem gar nicht erwähnt.

In der verallgemeinerten Form müsste er dann alle bis auf die gewählte und eine andere öffnen, alles Ziegen.

In der deutschen Version der US-Sendung, auf die das Spiel zurückgeht, hat der Moderator für andere Türen auch noch Geld geboten und so Zeug.

Ich überlege gerade, was das bedeutet, wenn der Moderator nichts machen muss. Macht die ganze Frage gleich erheblich komplizierter. Muss ich mal länger drüber nachdenken.

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-08-29 15:40

>Eine Variante, in der sich der Moderator auch entscheiden kann, einfach nichts zu öffnen, ist z.B. auch hier https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem gar nicht erwähnt.

Ich habe den Artikel überflogen. Es wird aber erwähnt.

In den meisten fällen wird implizit (also ohne dass es formal hingeschrieben wird) davon ausgegangen dass der Moderator stets eine weitere ziegen Tür öffnet.

Aber um den Wechsel mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 zu beweisen muss diese Regel explizit aufgeschrieben werden.

Es ist auch gestattet dass der moderator eine Münze wirft und daraufhin entscheidet ob er eine weitere Ziegen Tür öffnet oder nicht. Dann lohnt sich der wechsel auch in 2/3 aller Fällen.

By Jens Hartmann Date 2016-08-30 21:29

Das Ziegenproblem ist ein Beispiel der bedingten Wahrscheinlichkeit und nur dann so zu handhaben wie Du beschreibst, wenn der Moderator WEISS, hinter welcher Türe eine Ziege steht und daher bewusst ein solches Tor wählt. Damit steigt die Wahrscheinlichkeit, dass hinter einem der verschlossenen Tore das Auto steht. Obige Aufgabenstellung ist daher unvollständig. Wenn der Moderator auch raten muss, ist es wohl völlig egal, ob man seine Meinung ändert, nachdem er ein Tor geöffnet hat oder nicht.

Der Dienstag hat nach meinem Logikverständnis nun aber überhaupt nichts mit der bedingten Wahrscheinlichkeit zu tun. Was unterscheidet den Dienstag von der hier bereits zitierten roten T-Shirt oder grünen Unterhosen? Ich hoffe, das kann jemand erklären, bis dahin sehe ich diese Lösung als falsch an.

By Ulf Flörsheimer Date 2016-08-29 06:14

Hallo Frank,

prima gemacht! Mehr als du gesagt hast, gibt es zu dieser Aufgabe eigentlich nicht zu sagen.

Ulf

By Frank Brenner Date 2016-08-31 00:53 Edited 2016-08-31 01:10

Hallo Ulf,

es gibt noch was zu sagen und sogar sehr viel

Nachdem ich nun eine Weile darüber nachgedacht habe, wie die Wahrscheinlichkeit lediglich durch Kenntnis des Wochentages von 1/3 (33%) auf 13/27 (ca 48%) ansteigen kann, bin ich schließlich zum Ergebnis gekommen, dass dieses Ergebnis falsch ist!

Bitte sag mir einmal woher du das Rätsel hast und wo du (außer hier von mir) sonst noch die 48% gesehen hast ....

Die Lösung ist nämlich komplett falsch.

Tatsächlich beträgt die Wahrscheinlichkeit - so wie intuitiv zuerst angenommen - exakt 1/3

Hier ist nochmal die Ursprüngliche Frage um die es geht:

(3)
Herr Müller hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Junge ist?

Ich werde jetzt hier den Beweis für 1/3 führen und dann auf die Stelle hinweisen wo der Fehler im Beweis zu 13/27 steckt und anschließend den Fehler im Simulations Programm zeigen (wo ja 13/21 = 48% herausgekommen ist) und das korrekte Simulationsprogramm angeben.

Also:

Wenn wir zwei Kinder haben und die Kinder dem Alter nach sortieren , dann gibt es 4 Möglichkeiten: JJ, MM, JM, MJ.
Jede dieser 4 Möglichkeiten ist gleichwahrscheinlich, nämlich 25%.

Wenn wir jetzt auch noch den Wochentag berücksichtigen so erhalten wir jeden dieser 4 Fälle 7*7= 49 Möglichkeiten, also insgesamt 4*49 = 196 Möglichkeiten (oder einfach auch 14*14)
Jede dieser 196 Möglichkeiten ist gleich wahrscheinlich.

Der Informant teilt uns mit: Herr Müller hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge.

Jetzt können wir alle 49 Fälle in denen MM vorkommen entfernen.

Übrig bleiben 3*49 = 147 Möglichkeiten die nach wie vor gleichverteilt sind. Die Wahrscheinlichkeit für JJ beträgt allerdings jetzt 1/3, für JM und MJ ebenfalls, da die 100% sich jetzt auf die 3 mengen MM, JM, MJ verteilen.

Als nächstes erfahren wir vom Informanten: Herr Müller hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge der am Dienstag geboren wurde.

Von den 149 Fällen die wir bisher hatten, werden ab nun sehr viele von gestrichen:

JM:   Hier gibt es A:=   { Junge(dienstag) } x { Mäd(Mo), .... Mäd(So)} , also insgesamt 7 Möglichkeiten die noch übrig bleiben
MJ:   Hier gibt es B:= { Mäd(Mo), .... Mäd(So)} x { Junge(Dienstag) }   , also ebenfalls insgesamt 7 Möglichkeiten übrig.

JJ: Hier gibt es C:= { Junge(Di) }   x { Junge(Mo), .... , Junge(So) } und { Junge(Mo), .... , Junge(So) } x { Junge(Di) } abzüglich einmal (Junge(Di),Junge(Di)) da wir dieses Tupel doppelt gezählt haben, also insgesamt 13 Möglichkeiten.

Ursprünglich hatte ich argumentiert dass die W'keit für zwei Jungs also 13 / (7+7+13) = 13/27   betragen muss.

Die Berechnung der Menge C ist jedoch fehlerhaft.

Warum ?

Der Informant guckt sich die beiden Kinder von Herrn Müller an und sieht einen Jungen der am Dienstag geboren wurde. Also ist entweder der jüngere EOR der ältere am Dienstag geboren oder es sind beide am Dienstag geboren. (EOR = exclustiv oder)

Angenommen der Informant hat zufällig den jüngeren gesehen: dann lautet die Menge   C = { J(Di) } x { J(Mo), .... J(So) }   , also hat C genau 7 Elemente.
Wenn der Informant zufällig den älteren gesehen hat, dann lautet C = { J(Mo), .... , J(So) } x { J(Di) } . Auch hier hat C genau 7 Elemente.

Wenn der Informant den jüngeren gesehen hat der am Dienstag geboren wurde, dann darf die Menge { J(Mo), J(Mit), J(Do),J(Fr),J(Sa), J(So) } x { J(Di) } mit seinen 6 Elementen NICHT gezählt werden, denn diese Menge kann nicht mehr möglich sein.

Analog ist der Fall , wenn der Informant den älteren gesehen hat.

Aus der ursprünglichen Menge C mit den 13 Elementen müssen also 6 Elemente entfernt werden so dass 7 übrig bleiben.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind auch ein Junge ist, beträgt also genau: 7/(7+7+7) = 1/ 3 . Und das entspricht exakt unserer Intuitiven Vermutung.

Die 3*49 = 147 Möglichkeiten reduzieren sich durch Kenntnis Wochentages und der Tatsache dass der Informant entweder den jüngeren oder den älteren Jungen gesehen hat   auf 21 Möglichkeiten,

Aber wo lag mein Programm das ich vor ein paar Tagen hier im Forum abgedruckt habe denn falsch ? Schließlich sah es doch auf dem ersten Blick so aus, als würde es den Sachverhalt genau wiedergeben und es hat auch die damals für richtig angenommene Wahrscheinlichkeit von ca 48% ausgedruckt .

Und wie lautet das richtige Programm ?

Der Fehler im Programm war, dass von den 196 Möglichkeiten Durch die folgende Abfrage

Code:


 if  (((kind1==0) && (wochentag1 == 1 )) ||  
           ((kind2==0) && (wochentag2  == 1)) )

27 von 196 Möglichkeiten abgefangen wurden, also zusätzlich auch die 6 falschen, die nicht gezählt werden dürfen.

Das Programm muss richtig so lauten:

Code:



    cnt = 0;
    cnt_junge = 0;
    for (i=0;i  < 1000000; i++)
    {
        
       int kind[2];
       int wochentag[2];
       
       kind[0] = rand() % 2;  // 0 = junge, 1 = mädchen
       kind[1] = rand() % 2;  // 0 = junge, 1 = mädchen
       
       wochentag[0] = rand() % 7;  // 0 Montag  , 1= Dienstag ,  ...  6 = Sonntag
       wochentag[1] = rand() % 7; 
    
       int  informant_guckt_auf_kind_nr = rand() %2;   // wird nur im Fall JJ benötigt. Sonst guckt der Informant stets auf den einzigen Jungen.
           
           if    (    ((kind[0] == 1) && (kind[1]==0) && (wochentag[1] == 1))   ||  // Mä JU(Di)
                      ((kind[0] == 0) && (kind[1]==1) && (wochentag[0] == 1))   ||   // Ju(Di) Mä
                      ((kind[0] == 0) && (kind[1]==0) &&   ((wochentag[informant_guckt_auf_kind_nr]==1)) )   // Ju Ju  
                 )
                  
              
          
               {
                    cnt++;
                    if ((kind[0]==0) && (kind[1]==0)) cnt_junge++;
               }

    }
    
    printf ("Ergebnis - 2  %d  %d  %f\n", cnt, cnt_junge, (double)cnt_junge / (double) cnt);

Dann kommt am Ende auch das richtige Ergebnis: 1/3 heraus.

Ich bin sehr gespannt aus welcher Quelle Du das Rätsel hast und wie dort argumentiert wird.

beste Grüße
Frank

By Ulf Flörsheimer Date 2016-08-31 07:16

Hallo Frank,

die Aufgabe gabs mal in Spiegel online im Jahr 2010: http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/vertrackte-wahrscheinlichkeit-wie-uns-die-intuition-in-die-irre-fuehrt-a-708540.html mit Lösung 13/27.

Meiner Meinung nach musst du stets alle Attribute gleichzeitig berüchsichtigen und die 196 Paare betrachten. Nun streichst du alle "illegalen Paare" (diejenigen, in denen kein Junge, der dienstags geboren wurde) heraus und übrig bleiben alle aufgabenkonformen Paare (also die möglichen Paare) - es sind 27. Jetzt streichst du die Paare, bei denen das andere Kind ein Mädchen ist und übrig bleiben die Lösungspaare (also die günstigen Paare) - es sind 13. Wahrscheinlichkeit ist definiert als "günstiges Ergebnis/mögliche Ergebnisse", macht also 13/27 oder rd. 48,15%. Hier noch einmal eine Tabelle von mir:

1   J-Mo   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
2   J-Mo   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
3   J-Mo   J-Di   möglich ( 1)   günstig ( 1)
4   J-Mo   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
5   J-Mo   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
6   J-Mo   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
7   J-Mo   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
8   J-Mo   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
9   J-Mo   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
10   J-Mo   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
11   J-Mo   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
12   J-Mo   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
13   J-Mo   J-So   nicht mögl. nicht günst.
14   J-Mo   M-So   nicht mögl. nicht günst.
15   M-Mo   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
16   M-Mo   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
17   M-Mo   J-Di   möglich ( 2)   nicht günst.
18   M-Mo   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
19   M-Mo   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
20   M-Mo   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
21   M-Mo   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
22   M-Mo   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
23   M-Mo   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
24   M-Mo   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
25   M-Mo   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
26   M-Mo   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
27   M-Mo   J-So   nicht mögl. nicht günst.
28   M-Mo   M-So   nicht mögl. nicht günst.
29   J-Di   J-Mo   möglich ( 3)   günstig ( 2)
30   J-Di   M-Mo   möglich ( 4)   nicht günst.
31   J-Di   J-Di   möglich ( 5)   günstig ( 3)
32   J-Di   M-Di   möglich ( 6)   nicht günst.
33   J-Di   J-Mi   möglich ( 7)   günstig ( 4)
34   J-Di   M-Mi   möglich ( 8)   nicht günst.
35   J-Di   J-Do   möglich ( 9)   günstig ( 5)
36   J-Di   M-Do   möglich (10)   nicht günst.
37   J-Di   J-Fr   möglich (11)   günstig ( 6)
38   J-Di   M-Fr   möglich (12)   nicht günst.
39   J-Di   J-Sa   möglich (13)   günstig ( 7)
40   J-Di   M-Sa   möglich (14)   nicht günst.
41   J-Di   J-So   möglich (15)   günstig ( 8)
42   J-Di   M-So   möglich (16)   nicht günst.
43   M-Di   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
44   M-Di   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
45   M-Di   J-Di   möglich (17)   nicht günst.
46   M-Di   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
47   M-Di   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
48   M-Di   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
49   M-Di   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
50   M-Di   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
51   M-Di   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
52   M-Di   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
53   M-Di   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
54   M-Di   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
55   M-Di   J-So   nicht mögl. nicht günst.
56   M-Di   M-So   nicht mögl. nicht günst.
57   J-Mi   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
58   J-Mi   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
59   J-Mi   J-Di   möglich (18)   günstig ( 9)
60   J-Mi   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
61   J-Mi   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
62   J-Mi   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
63   J-Mi   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
64   J-Mi   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
65   J-Mi   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
66   J-Mi   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
67   J-Mi   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
68   J-Mi   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
69   J-Mi   J-So   nicht mögl. nicht günst.
70   J-Mi   M-So   nicht mögl. nicht günst.
71   M-Mi   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
72   M-Mi   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
73   M-Mi   J-Di   möglich (19)   nicht günst.
74   M-Mi   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
75   M-Mi   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
76   M-Mi   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
77   M-Mi   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
78   M-Mi   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
79   M-Mi   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
80   M-Mi   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
81   M-Mi   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
82   M-Mi   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
83   M-Mi   J-So   nicht mögl. nicht günst.
84   M-Mi   M-So   nicht mögl. nicht günst.
85   J-Do   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
86   J-Do   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
87   J-Do   J-Di   möglich (20)   günstig (10)
88   J-Do   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
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90   J-Do   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
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92   J-Do   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
93   J-Do   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
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100   M-Do   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
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102   M-Do   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
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112   M-Do   M-So   nicht mögl. nicht günst.
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121   J-Fr   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
122   J-Fr   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
123   J-Fr   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
124   J-Fr   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
125   J-Fr   J-So   nicht mögl. nicht günst.
126   J-Fr   M-So   nicht mögl. nicht günst.
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132   M-Fr   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
133   M-Fr   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
134   M-Fr   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
135   M-Fr   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
136   M-Fr   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
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139   M-Fr   J-So   nicht mögl. nicht günst.
140   M-Fr   M-So   nicht mögl. nicht günst.
141   J-Sa   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
142   J-Sa   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
143   J-Sa   J-Di   möglich (24)   günstig (12)
144   J-Sa   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
145   J-Sa   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
146   J-Sa   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
147   J-Sa   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
148   J-Sa   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
149   J-Sa   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
150   J-Sa   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
151   J-Sa   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
152   J-Sa   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
153   J-Sa   J-So   nicht mögl. nicht günst.
154   J-Sa   M-So   nicht mögl. nicht günst.
155   M-Sa   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
156   M-Sa   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
157   M-Sa   J-Di   möglich (25)   nicht günst.
158   M-Sa   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
159   M-Sa   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
160   M-Sa   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
161   M-Sa   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
162   M-Sa   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
163   M-Sa   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
164   M-Sa   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
165   M-Sa   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
166   M-Sa   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
167   M-Sa   J-So   nicht mögl. nicht günst.
168   M-Sa   M-So   nicht mögl. nicht günst.
169   J-So   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
170   J-So   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
171   J-So   J-Di   möglich (26)   günstig (13)
172   J-So   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
173   J-So   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
174   J-So   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
175   J-So   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
176   J-So   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
177   J-So   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
178   J-So   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
179   J-So   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
180   J-So   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
181   J-So   J-So   nicht mögl. nicht günst.
182   J-So   M-So   nicht mögl. nicht günst.
183   M-So   J-Mo   nicht mögl. nicht günst.
184   M-So   M-Mo   nicht mögl. nicht günst.
185   M-So   J-Di   möglich (27)   nicht günst.
186   M-So   M-Di   nicht mögl. nicht günst.
187   M-So   J-Mi   nicht mögl. nicht günst.
188   M-So   M-Mi   nicht mögl. nicht günst.
189   M-So   J-Do   nicht mögl. nicht günst.
190   M-So   M-Do   nicht mögl. nicht günst.
191   M-So   J-Fr   nicht mögl. nicht günst.
192   M-So   M-Fr   nicht mögl. nicht günst.
193   M-So   J-Sa   nicht mögl. nicht günst.
194   M-So   M-Sa   nicht mögl. nicht günst.
195   M-So   J-So   nicht mögl. nicht günst.
196   M-So   M-So   nicht mögl. nicht günst.

Günstige: 13
Mögliche: 27
P(Junge): 48.15%

Grüße
Ulf

By Frank Brenner Date 2016-08-31 09:08 Edited 2016-08-31 09:11

Der Spiegel Artikel ist falsch und zwar machen die dort den gleichen Fehler den ich zu Anfang gemacht habe.

Hier sind zwei Szenarien.
Im ersten Szenarium wirst du auf eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 kommen und im zweiten auf 13/27.

Szenarium 1:
----------------
Gegeben ist eine Unendliche Folge von Familien mit zwei Kindern, F(i), wo die Mädchen und Jungs gleichverteilt sind und die Geburtswochentage ebenfalls gleichverteilt sind.

Der Informant verbindet dem Kandidaten die Augen und sagt zum Kandidaten:

'Wir gehen jetzt an einer Reihe von Familien entlang und immer wenn wir an einer Familie mit wenigstens einem Jungen vorbeikommen bleiben wir stehen und du musst erraten wie hoch die W'keit ist dass auch das andere Kind ein Junge ist. Als Zusatzinformation Teile ich dir den Wochentag mit an dem ein beliebiger der beiden Jungen geburtstag hat'

Der Informant geht mit dem Kandidaten daraufhin an ein paar Familien vorbei und bleibt z.B. bei F(2) stehen und sagt: "Hier ist ein Junge dabei und der hat am Dienstag Geburtstag".
Als nächstes geht er z.B. zu F(4) und sagt "Hier ist ein Junge dabei und der hat am Freitag Geburtstag".

In allen diesen Fällen bleibt der Informant an 75% aller Familien stehen und die W'keit dafür dass das andere Kind ein Junge ist beträgt stets 33 %

Szenarium 2
--------------
Gegeben ist eine Unendliche Folge von Familien mit zwei Kindern, F(i), wo die Mädchen und Jungs gleichverteilt sind und die Geburtswochentage ebenfalls gleichverteilt sind.

Der Informant verbindet dem Kandidaten die Augen und sagt zum Kandidaten:

'Wir gehen jetzt an einer Reihe von Familien entlang und immer wenn wir an einer Familie mit wenigstens einem Jungen vorbeikommen der an einem Dienstag Geburtstag hat bleiben wir stehen und Du sollst dann raten ob das andere Kind auch ein Junge ist'

Dann sagt der Kandidat zum Moderator, 'Du Moderator, wenn du nur nach dienstags-jungen ausschau hältst, dann ist es doch fast doppelt so wahrscheinlich das du bei JJ stehen bleibst wie bei JM bzw MJ, denn bei JJ kann der erste oder der zweite ein Dienstag-Junge sein, während bei JM und MJ nur eine Chance besteht auf einen Dienstag-Jungen zu treffen"

Hier beträgt die WKeit dann 13/27   .

------------------------------------------------

Welches Szenarium ist im Spiegelartikel gemeint ?

Vernünftigerweise sollte man das erste Szenarium unterstellen.

Zitat aus dem Spiegelartikel:   "..... Denn wenn die bloße Angabe eines Wochentags das Ergebnis einer Rechnung von 1/3 zu 13/27 ändert, kann man dann den Berechnungen überhaupt noch trauen?"

Stell dir einmal vor JJ, wären 100 Jungs, JM und MJ nur 2 Kinder, und der Informant würde an allen Famiien stehen bleiben wo der Junge am 1. April geboren wurde.
Dann währe die W'keit nahezu 100% dass er nur dort stehen bleibt wo die 100 Jungs sind, denn bei 100 Jungs ist die W'keit VIEL höher dass dort einer dabei ist der am 1.April geboren wurde als bei nur einem Jungen und einem Mädchen

Wenn der Informant aber überall wo ein Junge ist stehen bleibt und dir dann das Geburtsdatum Tag+Monat eines Jungen mitteilt, und dann gleich z.B. bei der dritten Familie stehen bleibt und dir zb sagt 'Hier ist ein junge der am 1.April geboren wurde'

Dann ist die W'keit 1/3 dass er bei den 100 Jungs stehen bleibt.

Der Informant geht weiter und teilt mit 'Hier ist ein Junge dabei der am 10.Dezember geboren wurde'

Auch jetzt ist die W'keit 1/3 dass auch das bzw die anderen Kinder Jungs sind.

Also: Die Zusatzinformation des Wochentages an dem der Junge geboren wurde also z.B. die Aussage 'Hier ist ein Junge dabei der am Freitag geboren wurde"   ist nur dann eine zusatzinformation wenn von vorneherein nur Familien ausgewählt werden wo zb ein Freitags Junge dabei ist.

By Jens Hartmann Date 2016-08-31 15:44

Danke Frank für diese guten Erklärungen, nun ist mir klar, was es mit dem Wochentag auf sich hat. Spannende Gehirn-akrobatik!

By Frank Brenner Date 2016-08-31 17:40 Edited 2016-08-31 18:10

Eine vielleicht noch intuitiv verständlichere Interpretation der beiden Werte 1/3 und 13/27 liefern die beiden Folgenden Situationen.

Szenarium 3
--------------
In Deutschland leben 80 Mio menschen. 20 Mio Familien zu je 2 Kindern, gleichverteilt sind Jungen und Mädchen und der Geburtsmonat.

Wir wählen nun ZUFÄLLIG eine beliebige Familie aus Deutschland aus und gehen zu dem Haus und schellen an der Haustür.
Die Mutter öffnet die Tür und sagt "Eins meiner Kinder ist ein Junge der am Dienstag geboren ist"

Dann beträgt die W'keit dass das andere Kind ein Junge ist 1/3.

Szenarium 4:
---------------
In Deutschland leben 80 Mio menschen. 20 Mio familien zu je 2 Kindern, gleichverteilt sind Jungen und Mädchen und der Geburtsmonat.

Als nächstes schicken wir alle Familien aus Deutschland in die Schweiz, die zwar mindestens einen Jungen haben, aber keinen Jungen haben der an einem Dienstag geboren wurde.

Sehr viele menschen verlassen daraufhin Deutschland:

Von den MJ Familien bleiben nur 1/7 in Deutschland, ebenso von den JM Familien.

Von den JJ Familien können dagegen fast doppelt so viele in Deutschland bleiben, da bei zwei Jungs die W'keit fast doppelt so groß ist, daß wenigstens einer von beiden an einem Dienstag geboren wurde. Es bleiben dann 13/49 von den JJ in Deutschland übrig.

Nachdem der Großteil Deutschland verlassen hat, wählen wir zufällig eine übrig gebliebene Familie aus.

Wie die Mutter öffnet die Tür und sagt "Ich hab ein Junge der am Dientsag geboren wurde".

Es gibt also 7/49 in MJ, 7/49 in JM und 13/49 in MM

Klar ist, dass jetz die W'keit für JJ bzw die W'keit dass das andere Kind auch ein Junge ist 13/(7+7+13) = 13/ 27

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-31 22:35

Hi!

Interessant.

Da 1/3 ja auch die Antwort auf die erste Frage war, könnte man am Ende doch sagen, dass der Wochentag keinen Einfluss hat?

Als noch 48% vermutet wurde, hatte ich (weiter oben im Thread) gefragt, ob in Kulturen mit 10 oder 2 Wochentagen die Wahrscheinlichkeiten anders wären, was mir eigenartig erscheint. Wenn sich herausstellt, dass das nicht so ist, wäre ich fast froh

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-08-31 23:04 Edited 2016-08-31 23:27

> Da 1/3 ja auch die Antwort auf die erste Frage war, könnte man am Ende doch sagen, dass der Wochentag keinen Einfluss hat?

Wenn Dir eine beliebige Mutter in Deutschland, die 2 Kinder, hat spontan und ohne daß du sie vorher auf einen Wochentag festgelegt hast mitteilt: "Ich habe 2 Kinder, davon ist einer ein Junge der am Mittwoch Geburstag hat", dann ist der Wochentag bedeutungslos für die Wahrscheinlichkeiten und die W'keit beträgt 1/3 das das andere Kind ein Junge ist.

Wenn du dagegen den Wochentag vorab festlegst und eine beliebige Mutter die 2 Kinder hat spontan fragst "Haben Sie einen Jungen der am Mittwoch geboren wurde ?" dann spielt der Wochentag eine Rolle: Mütter die zwei Jungs haben, sagen fast doppelt so häufig ja wie Mütter die JM bzw MJ haben. Bei einem 'Ja', liegt also zu 13/27 dann der Fall JJ vor.

Wenn du diesen feinen unterschied verstehst, dann verstehst dann hast du auch die Antwort auf deine Frage.

By Ulf Flörsheimer Date 2016-08-31 20:15

Hallo Frank,

ich verstehe gar nicht, was dich hinsichtlich der Aufgabe so aus dem Gleichgewicht gebracht hat, nachdem du die richtige Antwort gegeben hast. Du fragst:

Frank Brenner schrieb:

Welches Szenarium ist im Spiegelartikel gemeint ?

Vernünftigerweise sollte man das erste Szenarium unterstellen.

Lies doch noch einmal meine Aufgabe:

Frank Brenner schrieb:

(3)
Herr Müller hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Junge ist?

Es steht nichts davon, dass wer wen was fragt, sondern es wird klar gesagt, dass es einen Jungen, der an einem Dienstag geboren ist, gibt. Also sind alle Paare, bei denen kein Junge vorkommt, der dienstags geboren wurde, nicht Teil der infrage kommenden Grundgesamtheit. Es bleiben 27 mögliche Lösungspaare. Der Löser muss sich also nur Fragen, wieviele dieser Paare erfüllen die zweite Bedingung "Junge". Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(J|J-Di). Das sind genau 13 Paare. Wo ist das Problem. Dein hübsches (erstes) Programm hat es gezeigt: von den denkbaren Paaren werden nur die weiter verwendet, die die Grundaussage der Aufgabe erfüllen.

Frank Brenner schrieb:

Zitat aus dem Spiegelartikel: "..... Denn wenn die bloße Angabe eines Wochentags das Ergebnis einer Rechnung von 1/3 zu 13/27 ändert, kann man dann den Berechnungen überhaupt noch trauen?"

Ja, natürlich kann man ihnen trauen: Jede Information, die die Grundgesamtheit beeinflusst, wird zu veränderten Ergebnissen führen. Finde ich eigentlich logisch.

Aber unter einem besonderen gebe ich dieser Aussage recht: Wahrscheinlichkeitsrechnung ist oft verwirrend. Es stellt sich meist die Frage: "Habe ich von allen Informationen Gebrauch gemacht, und: habe ich sie richtig verwendet. Das ist um so schwieriger, weil die Ergebnisse nicht selten herrlich unintuitiv sind. Schau dir mal das nette Buch "Mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit" (oder andere von den gleichen Autoren) an. Die bringen massenweise Aufgaben (zu bedingten Wahrscheinlichkeiten) mit verwirrenden Ergebnissen.

Schönen Abend
Ulf

By Frank Brenner Date 2016-08-31 20:57

Hallo Ulf,

dann überleg doch mal scharf nach, ich glaube nämlich du hast nicht erneut versucht dich in die Problematik hineinzuversetzen.

5)
Herr Müller: Ich habe 2 Kinder. Eins davon ist ein Junge.
Kandidat: Haben Sie auch einen Jungen der am Dienstag geboren wurde?
Herr Müller: Ja

-> Wahrschinlichkeit 13/27 dass das andere Kind ein Junge ist, da Herr Müller sich im Falle von JJ NACHTRÄGLICH beide Jungs angucken kann ob mindestens einer davon am Dienstag geboren wurde. Ein Dienstags-Junge im Fall JJ ist fast doppelt so wahrscheinlich wie im Fall JM bzw MJ.

6.) Herr Müller: Ich habe 2 Kinder. Eins davon ist ein Junge der am Dienstag geboren wurde.

-> Wahrscheinlichkeit 1/3, da Herr Müller im (Falle JJ) den Geburtswochentag eines zufällig ausgewählten Jungen genannt hat.

7.) Kandidat: Herr Müller, haben Sie 2 Kinder, wovon ein Junge dabei ist der am Dienstag geboren wurde ?
Herr Müller: Ja.

-> Wahrscheinlichkeit 13/27 , mit gleicher Begründung wie bei 5.

Siehst du den Unterschied zwischen 5. und 6. und 7. ?

Deine ursprüngliche Frage 3 ist äquivalent mit 6.

By Jörg Oster Date 2016-08-28 23:33

Ulf Flörsheimer schrieb:

Drei Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bei den nachfolgenden Aufgaben sei angenommen, es gleich wahrscheinlich ist, ob ein Kind ein Junge oder ein Mädchen ist. Ferner sei angenommen, dass die es gleich wahrscheinlich ist, an welchem Wochentag ein Kind zur Welt kommt.

(1)
Herr Müller hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das zweite Kind ein Junge ist?

(2)
Herr Müller hat zwei Kinder. Das ältere Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das jüngere Kind ein Junge ist?

(3)
Herr Müller hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Junge ist?

Wahrscheinlich liege ich völlig daneben, aber trotzdem:

1) 0 %
2) 0 %
3) 0 %