Rätsel: Wo liegt der Fehler?

By Ingo Althöfer Date 2016-08-28 18:55

Hmm, stimmt doch. Bronstein sagte manchmal:
man muss da spielen, wo 2+2=5 ist

Ingo.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 18:58

Da schliesst sich der Kreis zum Schach ja wieder.
Tal soll etwas ähnlich gesagt haben:

"Du musst Deinen Gegner in einen tiefen dunklen Wald führen wo 2+2=5 ist und wo der Weg, der wieder hinausführt, nur breit genug für einen ist."

Viele Grüße,
Wolfram

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 19:07 Edited 2016-08-28 19:12

Die Umformung in der 4. Zeile mit den Binomen ist mir nicht plausibel.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 19:12

Ich will Deinen Lehrern nicht zu nahe treten, aber die binomische Formel ist hier richtig angewendet....

(5-9/2)^2 nach a^2 - 2ab + b^2 ist

5^2 - 2 * 5 * 9/2 + (9/2)^2 =

25 - 2*5*9/2 + 81/4.

Ich fand das sehr schwer und habe die Lösung selber nicht gefunden.

Viele Grüße,
Wolfram

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 19:13 Edited 2016-08-28 19:19

Doch, die Auflösung der Klammern sind falsch.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 19:14

Wo genau?

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 19:32 Edited 2016-08-28 19:41

Ich will es mal so umschreiben:
Quadratische Gleichungen haben 2 Lösungen. Oft kann man nur eine davon als sinnvoll im Kontext der Aufgabe bezeichnen.
Sie unterscheiden sich vom Extremwert (MIN oder MAX) gleich weit, aber in die entgegengesetzte Richtung auf dem x-Wert.
Es wurde beim Auflösen der Klammern die falsche Lösung weiter benutzt.

formell: und a^2 ist a^2, aber auch (-a)^2 = a^2.

Im diesem Falle hat man (4-9/2)^2 gleichgesetzt mit (5-9/2)^2. Korrekt wäre aber (4-9/2)^2 = - (5-9/2)^2, also die entgegengesetzte Zahl.

By Frank Brenner Date 2016-08-28 19:26 Edited 2016-08-28 19:28

Der fehler steht in der 5. Zeile.

Man darf nur dann die Wurzel ziehen wenn 100% sicher ist dass es sich um eine nicht negative Zahl andelt.

Die Fälle wo die Zahl unter der Wurzel negativ sind, können dann nicht mehr fortgesetzt werden.

In deinem Beispiel steht 4-9/2 . Das ist stets negativ.

Mathematisch gesehen ist folgendes aber richtig: (4-9/2) >= 0 -> 5=4

Also WENN (4-9/2) größer/gleich 0 ist, dann folgt daraus 5=4

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 20:35

Hi Frank und Michael!

Die Antworten sind ziemlich richtig!! Super!
Der Übergang von der 4. auf die 5. Zeile ist nicht richtig.

Soweit ich das verstehe, ist Deine Erklärung auch fast ganz richtig.
Aus negativen Zahlen Wurzeln zu ziehen, fand ich auch komisch, aber in den Erklärungen, die ich gefunden habe, stört sich keiner daran.
Es geht dort eher darum, dass man bei Wurzeln beachten muss, dass es ein Ergebnis mit positivem und eins mit negativem Vorzeichen gibt.

Das ganze heisst Kandelhardt-Paradox und hier gibt es eine gute Erläuterung:

http://blog.xuite.net/hellothere/blog/53255182

Hut ab, Ihr seid echt fix!

Viele Grüße,
Wolfram

By Michael Bechmann Date 2016-08-28 20:40

Ich habe auch eine halbe Stunde gesucht wo der Fehler ist. Oberflächlich gesehen scheinen die einzelnen Schritte nämlich plausibel.

By Frank Brenner Date 2016-08-28 21:08

Hallo Wolfram,

ups, ja, eben war es mir zu heiß. Das Quadrat in der 4. zeile ist natürlich positiv, also darf man die Wurzel ziehen.

Die wurzel eines ausdrucks der größer/gleich 0 ist hat aber stets genau eine Lösung.

Wenn du also die wurzel aus x^2 berechnest so kommt da nicht x heraus sondern der Betrag von x, nämlich |x|

Und wenn du die Wurzel aus 9 berechnest so kommt da |3| heraus, also +3 und nicht -3.

Die fünfte Zeile müsste dann richtigerweise lauten

| (5-9/2) | = | (4- 9/2) |

Und im nächsten schritt kannst du die Betragsstriche auflösen und erhältst

5-9/2 = 9/2 - 4

Grüße
Frank

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 21:16

Hi Frank!

Frank Brenner schrieb:

Die wurzel eines ausdrucks der größer/gleich 0 ist hat aber stets genau eine Lösung.
Wenn du also die wurzel aus x^2 berechnest so kommt da nicht x heraus sondern der Betrag von x, nämlich |x|
Und wenn du die Wurzel aus 9 berechnest so kommt da |3| heraus, also +3 und nicht -3.

Hmm... also das ist mir neu und ich würde dem auch vorsichtig widersprechen.

Das Quadrat von 3 ist 9. Und das von -3 ist auch 9.
Also sollte die gegensätzliche Rechenoperation zu diesen beiden Ergebnissen führen.

Auch das Lösen quadratischer Gleichungen (z.B. mit der guten, alten pq-Formel) führt zurecht zu zwei Ergebnissen.

x^2 - 4 = 0 hat einfach zwei Lösungen für x. Kommt man da mit dem Betrag hin?

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-08-28 21:27 Edited 2016-08-28 21:32

Die Wurzel einer Zahl ist nie negativ:
Die Gleichung löst du wie folgt:

x^2 - 4 = 0

x^2 = 4

wurzel(x^2) = wurzel(4)

|x| = 2

x1 = 2 oder
x2 = -2

Allgemein gilt:

Wurzel ( ausdruck * ausdruck ) = | ausdruck|

Und erst im nächsten Schritt musst du die fiesen Betragsstriche auflösen

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 21:34 Edited 2016-08-28 21:39

Interessant.
Ich habe das noch nie so gehört.
Aber natürlich funktioniert es auch.

Ob man die Fallunterscheidung direkt als Folge des Wurzelziehens durchführt oder den Zwischenschritt über den Betrag macht, scheint mir aber ziemlich irrelvant und eher zeitraubend. Gibt es Fälle, in denen der Zwischenschritt Vorteile bietet, zu anderen Ergebnissen führt oder etwas beschleunigt?

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-08-28 21:42

Wenn du die Betragsstriche verseppelst, dann kann es sein dass du am Ende 5=4 herausbekommst.

Schau dir dein Ausgangsbeispiel an. Die Fünfte Zeile muss lauten

| 5-9/2 | = | 4-9/2 |

und danach löst man die Betagsstriche auf.
Hierbei kann man links die Betragsstriche einfach weglassen, da 5-9/2 positiv ist.
rechts steht aber eine negative zahl: 4-9/2
Diese negative zahl musst du positiv machen indem du ein - vor den Ausdruck schreibst und dann erhältst du

5-9/2 = - (4-9/2)

und im nächsten Schritt

5-9/2 = 9/2 - 4

Jetzt hast du am Ende ein richtiges Ergebnis.

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 21:47

Ich meinte, ob das im Allgemeinen Vorteile bringt.

Oben hast Du jetzt

|x| nach
-x und +x
aufgelöst.

Warum löst Du
| 4-9/2 | nicht nach
-(4-9/2) und +(4-9/2) auf?

Zunehmend verwirrt,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-08-28 21:53 Edited 2016-08-28 21:56

Diese beiden Striche heißen Betragsstriche.

Es sind keine Klammern.

Die Betragsstriche schauen sich den Ausdruck an, der zwischen ihnen steht und überlegen ob der positiv ist oder negativ ist.

Wenn der Ausdruck negativ ist, so invertieren die Betagsstriche das Vorzeichen.

Zb

|+9| = 9
|-9| = 9
| 2-5 | = |-3| = 3

| 4-9/2 | = | -1/2 | = 1/2

Fürchterlich wird es wenn zwischen den Betragsstrichen eine Variable steht zb x

|x-4|

Dann kann man das nicht direkt auflösen. Hier musst du dann eine Fallunterscheidung machen:

|x-4 | = x-4, falls x größer/gleich 4
- (x-4), falls x < 4

By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-28 22:08

Ja, was der Betrag ist, ist mir schon klar.

Es ist nur seltsam, dass man anders damit umgehen muss - abhängig davon, was dazwischen steht. Das finde ich nicht wünschenswert und auch nicht praktisch.

Ich habe da nochmal recherchiert, um das klar zu bekommen.

Die Wurzel-Funktion ist so definiert, dass sie immer nur das positive Ergebnis liefert. Muss so sein, sonst wäre es ja eine Relation. Für die Betragsfunktion gilt natürlich dasselbe.

Ausdrücke wie "x^2 = 4" können 2 Lösungen haben und es ist absolut üblich und richtig, hier eine Fallunterscheidung im Moment des Wurzelziehens zu machen.

Genauso richtig und üblich ist der Weg über den Betrag, der ggf. in einem späteren Schritt zu derselben Fallunterscheidung führt.

Also letztlich ist es gehupft wie gesprungen. Und damit ist meine Mathewelt auch wieder im Lot.

Viele Grüße,
Wolfram

By Frank Brenner Date 2016-08-28 22:12

Wenn du zb | x-5| = 7 nach x auflösen möchtest so rechnest du wie folgt weiter

+(x-5) = 7 -> x = 13
und
-(x-5) = 7 -> -x+5 = 7 -> -x = 2 -> x = -2

Du bekommst also hier auch 2 Lösungen raus x=13 und x=-2

Wichtig ist das wurzel(a*a) nicht a ist sondern stets |a|

By Tommy Tulpe Date 2016-08-28 22:20

Frank Brenner schrieb:

Tut mir leid, aber der Mathematiker muss sich hier melden:

Wenn du zb | x-5| = 7 nach x auflösen möchtest so rechnest du wie folgt weiter

+(x-5) = 7 -> x = 13
ODER (nicht "und")
-(x-5) = 7 -> -x+5 = 7 -> -x = 2 -> x = -2

Ulrich

By Frank Brenner Date 2016-08-28 22:36

Ja, da hast du Recht.

Zu meiner Verteidigung:

Mein "und" war nicht das logische und was man in der Mathematik mit ^ abkürzt sondern es war das 'und' welches in der deutschen Sprache meint, dass sowohl die eine Zeile als auch die zweite Zeile aufgeschrieben werden muss. Ich selber hatte keinen logischen Operator dazwischen geschrieben.

Streng formal richtig muss dieses Zeichen aber dazwischen, und zwar das mathematische oder.

Hätte ich 'oder' geschrieben hätte ein nicht mathematischer Leser vielleicht geglaubt man könnte sich eine der beiden Zeilen aussuchen um die Rechnung vollständig fortzusetzen.

By Tommy Tulpe Date 2016-08-29 07:38

Frank Brenner schrieb:

Alles völlig richtig, aber ich ging davon aus, dass bei diesen Logeleien die Mathematiker den Ton angeben und die Lösungen mathematisch korrekt formuliert werden. Wir müssen jetzt wirklich nicht spitzfindig werden.

By Benno Hartwig Date 2016-08-29 13:07

5-9/2=1/2
4-9/2=-1/2

Die Quadrate davon sind schon gleich, und damit ist die 4 Zeile noch richtig.
Aber der Schluss zur 5. Zeile darf so nicht gemacht werden.

Benno