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Parent - - By Ingo Althöfer Date 2016-08-27 10:53
Lieber Herr Martan,

Peter Martan schrieb:

Ingo Althöfer schrieb:
... Selbsthilfe-Gruppe gründen...


Irgendwie werde ich das Gefühl schon wieder nicht los, sehr geehrter
Herr Professor, dass sie sich doch ein bisschen an der "Verzweiflung"
der Erfolglosen erfreuen ...

Das ist definitiv nicht so. Viel mehr kenne ich als Mathematiker die Frustration,
die einen packen kann, wenn man monatelang nach dem Beweis für eine Vermutung
sucht - vor allem wenn man es als Einzelkämpfer in der stillen Kammer tut.

Zitat:
Mittlerweile haben Sie Michaels letzte Lösung doch für gut befunden. Hat
sich Frank da also zunächst auch geirrt?

Ich denke, schon. Herrn Bechmanns Darstellung als Lösung einer Übungsaufgabe
würde keine 100 Prozent Punkte erreichen. Ich attestiere ihm aber, so nah dran
zu sein, dass er "in einer wirklichen Gefangenen-Situation" durchstehen würde.

Zitat:
Meine Lösung, die ich aus wie mir mittlerweile umso triftiger scheinenden
Gründen nicht an Frank oder Sie per PM ging (nein, hier keine Misstrauen außer
gegen meine Lösung ) dürfte wohl doch auch falsch sein,

Jetzt haben Sie mich neugierig gemacht. Bitte die Lösung vorstellen.

Zitat:
Rein theoretisch (bei 3en oder 13 weniger aber auch) besteht doch auch
die Möglichkeit, dass der Zähler überhaupt nie ins finstere oder spärlich
beleuchtete Verlies kommt, nein?

Richtig. Aber das ist eine Menge mit Maß null.
Der Erwartungswert kann eben trotzdem endlich sein.

Zitat:
... wäre es nicht bei einem irgendwie begrenzten
Beobachtungszeitraum nur eine umso mehr gegen 100% gehende Wahrscheinlichkeit

Richtig!
Bei starr begrenzter Zeit gibt es keine 100 prozentig funktionierende Lösung.

Das ist auch im gewissen Sinn eine Schwäche des Rätsels: Wer nicht mit
(elementarer) Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut ist, wird "die" Lösung
nur schwer akzeptieren.

Zitat:
Sorry, ich bin offenbar einfach auch nach wie vor auf dem Holzweg, richtig?

Ich denke nicht.

Ingo Althöfer.
Parent - - By Peter Martan Date 2016-08-27 11:31 Upvotes 1
Ingo Althöfer schrieb:

Bei starr begrenzter Zeit gibt es keine 100 prozentig funktionierende Lösung.

Das ist auch im gewissen Sinn eine Schwäche des Rätsels: Wer nicht mit
(elementarer) Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut ist, wird "die" Lösung
nur schwer akzeptieren.


Mit elementarer Wahrscheinlichkeitsrechung offenbar zu wenig vertraut, würde ich die Lösung nur anerkennen, wenn in den Vorgaben statt "mit 100%er Sicherheit", z.B. "mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit in einem (theoretisch existenten) unbegrenzten Beobachtungszeitraum" stünde.

Meine Lösung lässt sich wenigsten einfach formulieren:
Nur der Zähler darf Licht aufdrehen und macht das jedesmal, wenn er ins Finstere kommt.
Die Anderen lassen es brennen, wenn sie das erste Mal einsitzen und löschen es im Wiederholungsfall.
Hat der Zähler 96 mal eine erleuchtete Zelle vorgefunden, geht er zum König.
Parent - - By Ingo Althöfer Date 2016-08-27 11:36
Lieber Herr Martan,

Peter Martan schrieb:
... Mit elementarer Wahrscheinlichkeitsrechung offenbar zu wenig vertraut,
würde ich die Lösung nur anerkennen, wenn in den Vorgaben statt "mit
100%er Sicherheit", z.B. "mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit
in einem (theoretisch existenten) unbegrenzten Beobachtungszeitraum" stünde.


Sie haben recht. Die ursprüngliche Formulierung ist für "mathematische Laien"
irreführend.

Zitat:
Meine Lösung lässt sich wenigsten einfach formulieren:
Nur der Zähler darf Licht aufdrehen und macht das jedesmal, wenn er ins Finstere kommt.
Die Anderen lassen es brennen, wenn sie das erste Mal einsitzen und löschen es im Wiederholungsfall.
Hat der Zähler 96 mal eine erleuchtete Zelle vorgefunden, geht er zum König.

Super! So geht es (und braucht im Durchschnitt zwischen n^2 und 2*n^2 Tage).

Ingo Althöfer.
Parent - By Peter Martan Date 2016-08-27 11:55 Edited 2016-08-27 12:10
Ingo Althöfer schrieb:

Sie haben recht. Die ursprüngliche Formulierung ist für "mathematische Laien"
irreführend.


Als mathematischer Halblaie finde ich nach wie vor, dass sich gerade Mathematiker an den Vorgaben im Zusammenhang mit der gewünschten Lösung stoßen könnten.
Ein unbegrenzter Beobachtungszeitraum ist etwas, was es praktisch nicht gibt, nur mathematisch, daher sollte das ausdrücklich erwähnt werden, sonst ist die Aufgabe nicht lösbar, bzw. müsste gerade mathematisch gesehen, die Lösung, auf die man kommen könnte, angezweifelt werden.
Ich bin mir aber bewusst, dass in diesem Anlassfall eindeutig ich der Besserwisser bin, jetzt kann ich der ja aber auch leicht sein, dank

Ingo Althöfer schrieb:

So geht es.
...
Ingo Althöfer.


Jetzt hab ich's nämlich schriftlich, von einem ordentlichen Professor abgezeichnet, ich muss sofort beginnen, meinen Verwandten- und Bekanntenkreis damit zu quälen.


Der Ehrlichkeit halber sollte ich noch erwähnen, dass ich ähnliche Rätsel im Internet gefunden habe, z.B.

https://www.quizzdirwas.de/raetsel-des-tages/2016-03-15

Ähnlicheres allerdings nicht, vielleicht sagt uns Frank noch, wo er es im Internet gefunden hat?

Mir hat mehr als das Googeln geholfen, zweimal von ihm per Private Message korrigiert worden zu sein, den endgültigen Schub aus dem Feld haben Sie mir mit dem Tip der Einmaligkeit des Zählers gegeben, danke neuerlich dafür, sehr geehrter Herr Professor, ich würde sonst vermutlich immer noch im Sinne des Rätsels im Dunkeln tappen und oder mich nicht mehr getraut haben, zu schreiben und das Licht der Erkenntnis für die Anderen zu entzünden.
Schon auch ein erhabenes Gefühl für mich, ich glaube, ich wäre kein guter Lehrer.
Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 12:43
Zitat:

Meine Lösung lässt sich wenigsten einfach formulieren:
Nur der Zähler darf Licht aufdrehen und macht das jedesmal, wenn er ins Finstere kommt.
Die Anderen lassen es brennen, wenn sie das erste Mal einsitzen und löschen es im Wiederholungsfall.
Hat der Zähler 96 mal eine erleuchtete Zelle vorgefunden, geht er zum König.


Das entspricht meiner Lösungsversuch aus 6 Regeln.

Es mag übrigens sein, dass die Formulierung (für einen Mathematiker) umständlich ist.
Aber es entspricht meiner allgemeinen Erfahrung, dass man umständlich sein muss, damit alle folgen können und so versuche ich ausführlich und umständlich zu sein.
Parent - - By Peter Martan Date 2016-08-27 12:54
Michael Bechmann schrieb:

Es mag übrigens sein, dass die Formulierung (für einen Mathematiker) umständlich ist.
Aber es entspricht meiner allgemeinen Erfahrung, dass man umständlich sein muss, damit alle folgen können und so versuche ich ausführlich und umständlich zu sein.

Glaub mir, Michael, ich versuche es in deinem Sinne hier und anderswo schon lange und komme mehr und mehr zu dem Schluss, ob du ausführlich und umständlich oder kurz und bündig bist, verstehen tun dich nur die, die es wollen. (Nämlich nicht nur verstehen, sondern auch deinen Gedankengängen und Formulierungen folgen.)
Hingegen werfen dir die Anderen sicher immer vor, zu umständlich zu sein (ich weiß wirklich nicht, warum das gerade hier so überwiegt, auch für mich ) oder zu wenig bemüht.

Einschränkend füge ich hinzu, auch die (da wollen) verstehen einen so und so nicht immer, und natürlich ist dann immer die Frage, liegt's an denen, an einem selbst oder an der Sache, aber alle diese Möglichkeiten an allen möglichen Beispielen zu erörtern, führt hier sicher wieder zu weit.
Parent - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 14:34 Edited 2016-08-27 15:04
Ich kenne die psychologische Hürde: Mir wurde im letzten Jahr schriftlich bescheinigt, dass ich in meinen Formulierungen umständlich bin und keine Fachbegriffe benutze. Derjenige war ein Informatiker mit psychologischer Ausbildung.

Ich konnte ihm entgegnen, dass ich das bewusst so mache, denn wäre es anders (ich würde Formeln und Fachbegriffe nutzen), würden 99% mich nicht verstehen. Also versuche ich entsprechend der 99% der Mitmenschen alles "idiotensicher" zu erzählen.
Den 96 Mitgefangenen muss man auch alles "haarklein" erzählen - Die Regeln sind leider nicht so einfach und man kann nicht davon ausgehen, dass alle IQ>120 haben.

Möglicherweise könnte man in einem Forum, das hautsächlich über Schachprogramme diskutiert, von deutlich weniger als 99% ausgehen. 

Bedingung ist immer tatsächlich, dass man es auch verstehen will.

Ich hatte ihm dann, weil er sich stets als mir überlegen darstellte, mal das bekannte "Ziegenproblem" vorgelegt. Das war im Juni 2015. Eine vernünftige Strategie hatte er aber nicht.
---

nochmal im komprimierter (und nicht so umständlicher) Form: Hätte ich das in der letzte Nacht gleich so geschrieben, hätte noch weniger mir folgen können.

I.  Nur der Moderator darf zum König gehen und verkünden, dass alle 3 an der Lampe waren. Er tut das dann, wenn er überzeugt ist, dass alle drei schon im Lampenraum waren.
II. Nur der Moderator sorgt dafür, dass die Lampe AN ist, wenn er an der Reihe ist und den Raum verlässt.
III. Ist einer der beiden dran, muss er die Lampe AUS schalten, wenn er die Lampe leuchten sieht, wenn er zum 1. Mal den Lampenraum besucht.
     Als Wiederholer verzichtet er auf den Gang zum Raum.
Parent - - By Ralf Mueller Date 2016-08-27 16:44
Die Lösung funktioniert aber nicht, wenn der Zähler 97-mal hintereinander den Raum betritt. Nach deiner Beschreibung würde er dann denken, alle waren drin und zum König gehen.
Sie würde auch nicht funktionieren, wenn zwei Gefangene hintereinander zum ersten Mal den Raum betreten (was sehr wahrscheinlich ist). Denn dann würde der Zähler vergeblich bis 96 zu zählen versuchen.
Oder habe ich einen Denkfehler?!
Parent - - By Peter Martan Date 2016-08-27 17:12
Ich glaube, Denkfehler 1: Zähler kommt 97x hintereinander in den Raum und verhält sich dabei aber von seinen Sonderrechten als Zähler abgesehen wie jeder Andere vereinbarungsgemäß, und dreht schon beim zweiten Mal das Licht wieder ab.
Du hast recht, dass ich es nicht bei "meiner Lösung" ausdrücklich dazu gesagt habe, dass diese allgemeine Regel auch für ihn gilt, ich habe aber auch nicht gesagt, dass er diesbezüglich eine Sonderstellung hat.
Vermutlicher Denkfehler 2 (vielleicht ist's auch der selbe wie 1): wenn 2 Andere zum ersten mal einsitzen, dreht keiner das Licht auf, das darf nur der Zähler. Meinst du, es kommen alle Anderen 96 vor dem Zähler dran? Dann geht's halt erst nach 96 Tagen los. Wieso beim Aufeinanderfolgen von 2 einzelnen anderen Ersthäftlingen der Zähler deiner Meinung nach vergeblich zählt, verstehe jetzt ich nicht. Irgendwann kommt er selbst dran und macht Licht, der nächste Zweit- oder Mehrfachhäftling, und sei er's selbst, macht's wieder aus.
Ich merke gerade, dass es mir immer noch Spass macht, "meine" Lösung zu erklären, vielleicht wäre ich doch ein guter Lehrer.
Parent - - By Ralf Mueller Date 2016-08-27 17:22
Danke für die schnelle Aufklärung! Denkfehler 1 ist mir jetzt klar, Denkfehler 2 nicht.

Zitat:
Meine Lösung lässt sich wenigsten einfach formulieren:
Nur der Zähler darf Licht aufdrehen und macht das jedesmal, wenn er ins Finstere kommt.
Die Anderen lassen es brennen, wenn sie das erste Mal einsitzen und löschen es im Wiederholungsfall.
Hat der Zähler 96 mal eine erleuchtete Zelle vorgefunden, geht er zum König.


Der Einfachheit halber gehen wir von drei Gefangenen aus, die kontinuierlich rotieren. Nummer 1 ist der Zähler, geht als erstes in den Raum und dreht das Licht an. Nummer zwei geht in den Raum und lässt es brennen. Nummer drei geht in den Raum und lässt es brennen. Nummer eins geht in den Raum, schaltet das Licht aus und zählt "eins". Nummer zwei und drei gehen rein und lassen das Licht aus. Nummer eins geht rein und schaltet das Licht an. Nummer zwei geht rein und schaltet das Licht aus. Nummer drei lässt das Licht aus. Der Zähler wird niemals bis zwei zählen, außer wenn er selber zweimal hintereinander in die Zelle geht (was ja auch ein Fehler des Systems wäre).
Parent - - By Peter Martan Date 2016-08-27 17:53 Edited 2016-08-27 18:20
Ralf Mueller schrieb:

Der Zähler wird niemals bis zwei zählen, außer wenn er selber zweimal hintereinander in die Zelle geht (was ja auch ein Fehler des Systems wäre).

Warum? Bei nur 3 Gefangenen ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zähler drankommt, sowieso jedesmal 1 zu 2 bei jedem Durchgang. Die bleibt gleich, egal, ob er vorher gerade dran war, oder nicht, zählt er jedesmal nur sein eigenes Licht, kann er nach 18 Durchgängen mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit zum König, da verlasse ich mich jetzt einfach auf Prof. Althöfers Formel, so sehr du aber, glaube ich, auch recht hast, wenn du meinst, 100% sicher ist das eigentlich nicht.
Kommt der Zähler nie dran in den ersten 18 Durchgängen, oder nie mehr nach dem ersten Mal, oder nie mehr unmittelbar nach sich selbst oder einem anderen Ersthäftling, geht's nicht. Bedenke aber dabei auch Folgendes: wenn der Zähler nach einem Tag ohne Sonderhaft wieder ins Finstere kommt, weiß er auch schon, dass von den anderen beiden zumindest einer schon einmal drin und dran war, bei 2 Tagen Pause weiß er das ebenfalls, auch wenn die zweimal vor ihm derselbe drin war, ich persönlich würde als Zähler bei nur 3 Gefangenen schon nach 10 finsteren Runden riskieren, dass es nicht jedesmal, wenn's finster war, derselbe war, der vor ihm war, aber ich bin halt ein Spieler.


Dein Sonderbeispiel von nur 3 Teilnehmern und dem Zufall, dass diese 3 alle gleich nacheinander je einmal drankommen, lässt sich übrigens auch viel einfacher lösen und sogar auch ohne ausgemachten Zähler.
Wenn einfach jeder Neuling aufdreht oder brennen lässt und jeder Wiederholungsinsasse abdreht oder finster lässt, und haben sie dann das Glück, das du schilderst, (Abfolge der ersten Runde 1,2,3) kann der dritte schon zum König gehen, wenn er ins Licht kommt, aber schon, wenn nur einer der drei ein zweites Mal drankommt vor dem dritten, funktioniert's so nicht mehr und sie brauchen eine andere Vereinbarung.
Parent - - By Ralf Mueller Date 2016-08-27 18:22
Hallo Peter,

ich versuche es nochmal ohne Sonderfall. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 96 Mithäftlingen zwei oder mehr Neuhäftlinge direkt hintereinander in den Lampenraum gehen, ist sehr hoch. Egal, wieviele Neuhäftlinge vor dem Zähler in dem Lampenraum waren, der Zähler zählt nur "eins", wenn er den Raum betritt. Aber er hat auch keine Chance, die anderen, die er nicht mitgezählt hat, ein späteres Mal zu zählen, da sie ja nun immer das Licht ausdrehen werden. Somit kann der Zähler nur diejenigen Neuhäftlinge zählen, die direkt vor ihm drin waren. Da er aber höchstwahrscheinlich nicht nach jedem Neuhäftling wieder in die Zelle kommt, kann er fast niemals auf 96 kommen. Die Lösung funktioniert also fast niemals. Wenn ich keinen Denkfehler habe.
Parent - - By Peter Martan Date 2016-08-27 18:35 Edited 2016-08-27 18:39
Ralf Mueller schrieb:

Egal, wieviele Neuhäftlinge vor dem Zähler in dem Lampenraum waren, der Zähler zählt nur "eins", wenn er den Raum betritt.

Richtig.
Ralf Mueller schrieb:

Aber er hat auch keine Chance, die anderen, die er nicht mitgezählt hat, ein späteres Mal zu zählen, da sie ja nun immer das Licht ausdrehen werden.
Somit kann der Zähler nur diejenigen Neuhäftlinge zählen, die direkt vor ihm drin waren. Da er aber höchstwahrscheinlich nicht nach jedem Neuhäftling wieder in die Zelle kommt, kann er fast niemals auf 96 kommen. Die Lösung funktioniert also fast niemals. Wenn ich keinen Denkfehler habe.

Du hast immer noch den Denkehler, dass der Zähler, wenn er Ersthäftlinge nicht gleich bei seinem nächsten Durchgang zählt, damit schon für immer verpasst hätte.
Alle, die er nicht bis zum seinem nächsten eigenen Wiederkommen erfasst, die aber schon einmal das Licht augemacht haben, muss er durch einen weiteren eigenen Durchgang (der allerdings dann auch einmal unmittelbar am nächsten Tag sein kann) und neuerliches Lichtmachen sozusagen selbst ersetzen, den anderen gibt er somit wieder eine weitere Chance. Wenn keiner mehr außer ihm das erste Mal drin war, weiß er das halt erst nach weiteren 192 Durchgängen, wie lange oder kurz für ihn das auch immer dauert.
Immerhin hat er ja insgesamt gute 50 Jahre Zeit.
Parent - - By Ralf Mueller Date 2016-08-27 18:59
Aber dass der Zähler sich selber zählt, ist doch ein weiterer Fehler und keine Lösung. Du versuchst, einen Fehler des Systems mit einem anderen zu lösen, die aber gar nicht zusammenhängen.
Bei deinem System kann es passieren, dass der Zähler schon bei 96 ankommt, obwohl noch nicht alle 96 bei dem Licht waren und niemals bei 96 ankommt, obwohl schon alle bei dem Licht waren.
Parent - - By Peter Martan Date 2016-08-27 19:41 Edited 2016-08-27 20:00
Jetzt stellst du dich aber für mein Gefühl schon ein bisschen so, als wolltest du mir nicht in meinen Gedankengängen folgen, Ralf. Das muss man aber immer dann, wenn man eine Sache nicht aus eigenen Überlegungen versteht, und sie sich von einem Anderen erklären lassen will.

Du sagst immer, es sei ein Systemfehler, wenn sich der Zähler selbst zählt, warum? Er zählt keine bestimmten Leute, nur, wie oft das Licht schon an ist, wenn er wiederkommt.
Er zählt "sich" damit ja auch nur genau so wie jeden Anderen, also immer nur, wenn entweder er selbst, oder halt ein Anderer vor seiner Wiederkunft schon wieder einmal Licht aus gemacht hat. Vielleicht beruhigt sich dein Systemfehlerverdacht, wenn du dir vor Augen hältst, dass er auf diese Weise "sich selbst" im Falle, dass niemand Anderer vor ihm Licht aus macht, zuerst wieder einmal (auch selbst, das darf sonst keiner, diese Sonderstellung ist  auch kein "Systemfehler", das ist eine Vereinbarung) Licht ein machen muss und sich so gesehen nur höchstens jedes zweite mal "selbst zählt".

Sei so gut, und denk noch einmal in Ruhe selber drüber nach, verstehst du mich dann immer noch nicht, lass es dir das nächste Mal von jemand Anderem erklären bitte.
Vielleicht liegt's ja an mir, aber dabei wirft man mir (hier) sonst immer vor, ich formuliere oft zu wortreich und umständlich, als dass man mich leicht verstehen könne.
Bei dir habe ich hingegen einfach trotz mehrerer Versuche immer noch nicht die richtigen Worte gefunden offenbar. Bevor ich jetzt dann in diesen meinen anderen Fehler verfalle, Quantität an Worten mit Qualität zu verwechseln, lass ich's lieber erst mal sein.
Parent - By Ralf Mueller Date 2016-08-27 20:27 Edited 2016-08-27 20:32
Hallo Peter,

entschuldige, dass ich mich anstelle.

Nur eine Frage:
Zitat:
Bei deinem System kann es passieren, dass der Zähler schon bei 96 ankommt, obwohl noch nicht alle 96 bei dem Licht waren und niemals bei 96 ankommt, obwohl schon alle bei dem Licht waren.

Ist das wirklich so oder irre ich mich da?

Wenn es tatsächlich so ist, warum dann dieses System und nicht einfach, dass niemand irgendwas an der Lampe macht, sondern der erste, der zum hundertsten Mal den Raum betritt, sagt, dass alle 97 drin waren? Ich glaube nicht, dass das so viel ungenauer ist.
Oder alle gemeinsam nach 10000 Tagen?

Gerade hatte ich eine Idee, wie wir die Lösung wasserdicht machen. Die Gefangenen bestimmen einen Zähler. Wenn einer der Gefangenen den Raum betritt, die Lampe ist an und er hat sie noch nie ausgemacht, macht er sie aus. In allen anderen Fällen lässt er die Lampe so, wie sie ist. Der Zähler macht als einziger die ausgeschaltete Lampe an und zählt mit, wie oft er sie angeschaltet hat bzw. lässt sie an. Es geht also nicht mehr darum, wer zum ersten Mal den Raum betritt, sondern, dass jeder genau einmal das Licht einschaltet. So wird sichergestellt, dass jeder Häftling einzeln gezählt wird und der Zähler sich nicht selber zählt. Scheint mir deutlich genauer zu funktionieren, oder?
Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 12:33
Rein theoretisch kann der Zufall es wollen, das immer der Gleiche (muss nicht der Moderator sein) ausgewählt wird und das 1000 mal hintereinander.
Auch dann kann das Spiel solange nicht enden.
Parent - - By Peter Martan Date 2016-08-27 12:48
Eben, ich glaube Prof. Althöfer in der Sache bereits so verstandenzu haben, dass er das auch als eine Schwächer der Formulierung der Aufgabe sieht.
Ein Posting mit einem wahrscheinlich anderen Lösungsansatz hatte ich gerade noch von Timo Haupt gesehen, kaum wollte ich es ordentlich lesen, finde ich es nicht mehr.
Gelöscht?
Oder nur wieder das Rätsellicht vom Mithäftling gelöscht?
Oder wieder nur Licht aus in meinem Kopf auf der Suche nach der letzten Wahrheit oder wenigstens dem letzten Posting?
Parent - - By Timo Haupt Date 2016-08-27 12:54
Hallo Peter,

mein Posting ist noch da - viel weiter oben. Such mal nach:
Von Timo Haupt Datum 2016-08-27 11:32 Editiert 2016-08-27 11:35

Gruß
Timo
Parent - By Peter Martan Date 2016-08-27 13:06
Danke, Timo, hab's schon wieder gefunden.
Parent - - By Frank Brenner Date 2016-08-27 18:00
Hallo Herr Althöfer,

über diese Frage habe ich mir auch schon  Gedanken gemacht.

Also nochmal das Problem:
Wieviel Tage dauert es im Durchschnitt bis dass jeder Gefangene einmal in den kleinen Raum kommt ?

Schnellstenfalls kann es nach 100 Tagen geschehen, längstenfalls kann es beliebig lange dauern.

Es ist sehr einfach den Durchnitt  mit einem Computerprogramm zu berechnen indem man 1 Millionen solche Szenarien durchläuft und den Erwartungswert empirisch berechnet:

Machen wir es der Einfachheit halber am Beispiel n = 100 Menschen.

Es dauert rund 518 Tage im Durchschnitt bis alle 100 Menschen Einmal in den kleinen Raum waren.Das ist der Mittelwert von ca 1 Mio duchläufe

Aber wie kann man es mathematisch bestimmen ?

Ich würde mich schon interessieren wie Sie auf n * ln (n) gekommen sind.

Ich habe es kombinatorisch versucht:

Der Erwartungswert der Anzahl der Tagen die erforderlich sind damit alle einmal in den kleinen Raum ausgewählt wurden ergibt sich durch folgende Summation:

Code:

Durchschnittliche_Anzahl_an_Tagen :=

100 * wahrscheinlichkeit dass mit dem  100sten Tag jeder einmal im Raum war +
101 * wahrscheinlichkeit dass mit dem 101sten  Tag jeder einmal im Raum war +
102 * wahrscheinlichkeit dass mit dem 102sten Tag  jeder einmal im Raum war + .....
3000 * W'keit dass mit dem 3000sten Tag  jeder Einmal im Raum war



Normalerweise muss man bis unendlich addieren. Aber bereits bei 3000 Tagen addiert man an den 518,...  Tagen nur noch an der 6ten Nachkommastelle.

Das Teilproblem besteht jetzt darin die einzelnen Summanden auszurechnen.

Hier kann ich leider keine geschlossene Formel angeben aber zumindestens eine Rekursive die sich recht schnell berechnen lässt:

Angenommen wir wollen ausrechnen wie hoch die W'keit ist, dass nach 600 Tagen jeder Mensch einmal in den kleinen Raum gekommen ist:

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Bruch mit Zähler und Nenner.

Es gibt 100 ^ 600 verschiedene Möglichkeiten in den 600 Tagen einen Gefangenen auszuwählen.
Diese (grosse) Zahl  mit 1200 Stellen kommt in den Nenner.

In den Zähler kommt eine etwas kleinere Zahl, und zwar die Anzahl  an Möglichkeiten  nach 600 Tagen  Gefangene auszuwählen unter der Nebenbedingung dass
jeder der 100 Menschen mindestens einmal ausgewählt worden ist.

Hier ist mir dann eine Rekursive Formel eingefallen die einigermaßen flott die Möglichkeiten exakt zählt, wenn man Zwischenergebnisse Speichert.

Code:


anzahl_gute_möglichkeiten ( 1 Mensch, n Tage) := 1

anzahl_gute_möglichkeiten (   anz>1   Menschen,   n Tage) :=
    anz ^ n - anzahl_schlechte_möglichkeiten ( anz, n)


Tatsächlich war es für mich  einfacher die schlechten Möglichkeiten zu zählen, also wo nach 600 Tagen noch mindestens ein Mensch dabei ist der nicht ausgewählt wurde:

Code:

anzahl_schlechte_möglichkeiten ( anz Menschen, n Tage ) :=

  Summe_von_i=1_bis_anz-1      (anz über i ) * anzahl_gute_möglichkeiten (  i,   n )



Wenn man auf diese Weise für 100 Mensche und 600 Tagen die Wahrscheinlichkeit berechnet dass nach 600 Tagen jeder einmal gewählt wurde so lautet die exakte Wahrscheinlichkeit dafür, also der ausgewertete Bruch:
78.46475909348281..... Prozent.

Der Zähler sowie der Nenner ist natürlich sehr groß. Die Zahlenwerte haben 1200 Stellen. Den Zähler+Nenner hier aufzuschreiben wäre sinnlos, also schreibe ich den Quotienten auf und breche nach einigen Nachkommastellen ab. Dann erhalten wir die Verständlichen Werte.

Nach 601 Tagen beträgt die Wahrscheinlichkeit
78.6566611717 ..... Prozent

Um die Ursprüngliche Summation zu berechnen,
Muss man also folgendes addieren

[CODE]
Durchschnittliche_Anzahl_an_Tagen :=  599 Tage x ...
                                                           +   601 Tage    x  ( 0,7865..   -  0,78464)
                                                           + 602 Tage x   ...

[\CODE]

Insgesamt ist es mühsehlig das zu Programmieren, wenn man es exakt aurechnen möchte muss man mit 6000 stellen langen Zahlen  rechnen, was dann doch lange dauert.

Tricky  - aber nicht mehr 100% genau - ist es wenn man nicht mit den reellen zahlen rechnet sondern mit den logarithmen von reellen zahlen.

Will man zb  die Fakultät von 1 Mio berechnen, so kann man  stattdessen die zehnerlogarithmen von 1,2,3, ....  bis 1 Mio addieren.

Die so erhaltende Summe enthält in den Vorkommazahlen den Exponenten und  die Mantisse bekommt man indem man  10 hoch (0,nachkommastellen) ausrechnet.

Ich würde aber auch gerne wissen wie man adhoc auf n*ln(n) kommt, denn das ist zwar vielleicht nicht auf die einerstelle genau aber dafür übersichtlicher.

beste Grüße
Frank Brenner
Parent - - By Ingo Althöfer Date 2016-08-27 18:52
Lieber Herr Brenner,

Frank Brenner schrieb:
Also nochmal das Problem:
Wieviel Tage dauert es im Durchschnitt bis dass jeder Gefangene einmal in den kleinen Raum kommt ?

Machen wir es der Einfachheit halber am Beispiel n = 100 Menschen.
Es dauert rund 518 Tage im Durchschnitt bis alle 100 Menschen Einmal in den
kleinen Raum waren.Das ist der Mittelwert von ca 1 Mio duchläufe

Aber wie kann man es mathematisch bestimmen ?
Ich würde mich schon interessieren wie Sie auf n * ln (n) gekommen sind.


Man benutzt die folgende Abschätzung:
Für n gegen unendlich konvergiert (1 + a/n)^n gegen e^a.
Dabei ist e ca=2,7 die Eulersche Zahl.

Der Sonderfall a=1 bedeutet (1 + 1/n)^n ca= e, für grosse n.
Wir brauchen hier aber den Fall a=-1, also
(1 - 1/n)^n ca= 1/e.

FRAGE: Wie gross ist die W-keit, dass Gefangener 1 nach n*log(n) Tagen noch nie in
der Kammer war?
Die ist (1 - 1/n)^(n*log(n)) = ((1 - 1/n)^n)^log(n)
ca= (1/e)^log(n) = 1/n.

Die Rechnung ist für jeden Gefangenen richtig, nicht nur für den ersten.
Also (wegen der Additivität endlicher Erwartungswerte) ist die erwartete Anzahl unversorgter
Gefangener nach n*log(n) Tagen ca= n*(1/n) = 1.
Das heisst, nach n*log(n) Tagen muss im Schnitt noch 1 Gefangener in die Kammer.
Die erwartete Schrittzahl für genau einen Gefangenen bis zu seinem ersten Kommen ist n.
Weil die W-keit für "viele" nichtversorgte schnell klein wird, braucht man im Durchschnitt
etwa n*log(n) + c*n viele Tage, für einen kleinen positiven Wert von c  (d.h., nicht viel größer
als 1).

Bitte nachfragen, wenn es unverständlich war.

Ihr Ingo Althöfer.
Parent - By Frank Brenner Date 2016-08-28 00:48
Hallo Herr Althöfer,

danke, für die verständliche Herleitung. Das Erinnert mich an den Bäcker der Rosinen in seinen Brötchenteig wirft um Rosinenbrötchen herzustellen.

Ihr Buch "Spiele Rätsel und Zahlen" habe ich mir übrigens schon damals gekauft als es hier im Forum einmal erwähnt wurde.

Am längsten habe ich  für Kapitel 4 gebraucht. Sehr interessant fand ich die unterschiedliche Herangehensweise wie die Nullstellen der Funktion f auf die Nullstellen der Ableitung marschiert sind.

Beste Grüße
Frank Brenner
Parent - By Michael Bechmann Date 2016-08-26 02:26 Upvotes 1
Zitat:

Ein König hält 97 Menschen in seinem Palast gefangen.


Das habe ich doch völlig übersehen! Ich dachte, die Gefangenen hocken in einem miefigen Verlies bei trockenen Brot und Wasser.
Die Aussicht, lebenslang Wohnrecht in einem Einzelzimmer in einem Palast zu bekommen ändert meine Strategie natürlich grundlegend... 

Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 01:03 Edited 2016-08-27 02:02 Upvotes 2
Frank hat mich soweit überzeugt, dass mein System wieder mal entweder zu Fehlschlüssen führt oder man mehrere weitere Regeln einführen muss. Dass System würde nicht mehr praktikabel werden.

Nach 1 1/2 leckeren Schwarzbier und nachts zur "Denkzeit": Es muss ein ganz anderen Ansatz her mit anderen Regeln.

Zunächst mal ist der Urzustand vor dem 1. Tag, dass die Lampe aus ist. Das zeigt der König allen anderen und das ist noch keine eigentliche Regel.

Ich will mal wieder mit nur 3 Gefangenen ausgehen.

Jetzt muss einer davon ein "unsichtbaren Moderator" oder "Alphatier" oder sonst sowas sein. Es wird am Beratungstag für alle festgelegt, wer der Moderator ist.

Die neuen Regeln könnten sein:

I.  Nur der Moderator darf zum König gehen und verkünden, dass alle 3 an der Lampe waren.
II. Gehen die beiden Anderen zum 1. Mal in den Raum, lassen sie die Lampe AUS. Das bleibt auch solange so, bis der Moderator dran war.
III. Nur der Moderator schaltet die Lampe AN und er muss das auch tun. Die Regel II erlischt dann.
IV. a) Ist der Moderator auch an den Folgetagen dran bleibt die Lampe weiterhin AN.
     b) Ist einer der beiden dran, muss er die Lampe AUS schalten, wenn er die Lampe leuchten sieht, wenn er zum 1. Mal den Lampenraum besucht.
     Als Wiederholer darf er den Schalter nie mehr betätigen, egal, ob er den Zustand "AUS" oder "AN" vorfindet. (*)
V.  Der Moderator stellt eines weiteren Tages fest, dass er die Lampe an seinem ersten Besuch der Lampe angeschaltet hat und auch bereits festgestellt hat, dass er beim zweiten Versuch
     die Lampe auch schon einmal AN angeschaltet hat. Das bedeutet, dass zwischen dem 1. Besuch und dem 2. Besuch ein anderer die Lampe nämlich AUS geschaltet hat.
     Kommt er zum dritten Versuch in den Lampenraum und stellt fest, dass die Lampe wieder AUS ist, weiß er, dass auch der dritte Kandidat die Lampe AUS gestellt hat. (Der Zweite, der schon mal
     die Lampe ausgeschaltet hat, darf das nicht mehr! siehe (*) ).
VI. Der Moderator schaltet zum 3. Mal die Lampe AN - und er kann mit ruhigem Gewissen zum König gehen, weil er weiß, dass auch die beiden anderen schon vor der Lampe waren.

Zu prüfen ist (aber nicht von mir in dieser Nacht) ob
1) wieder Fehlschlüsse sind
2) Verallgemeinerungen für n Gefangenen möglich sind:
    Bsp.: n = 97  - Wenn der Moderator zum 98. Mal die Lampe anschaltet - waren die anderen alle schon dagewesen?
Parent - - By Frank Brenner Date 2016-08-27 02:16 Upvotes 1
leider viel zu kompliziert.

Der Tipp von Herrn Althöfer war nicht die Zeitabschätzung sondern, dass z.B. am gemeinsamen Besprechnungstag ein Zähler ausgewählt werden darf.
Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 08:27 Edited 2016-08-27 08:46
Welcher Zähler?

Mein neues System oben ist etwas komplizierter, aber scheint zumindest für 3 Gefangene zu funktionieren.
Aber "etwas komplizierter" heißt zumindest nicht "grundsätzlich ungeeignet."

Wenn ich die Beiträge ingesamt durchlese, habe ich immer mehr den Eindruck, dass alle die Lösung kennen, nur ich nicht.
Parent - - By Ingo Althöfer Date 2016-08-27 08:42
Lieber Herr Bechmann,

Michael Bechmann schrieb:
Wenn ich die Beiträge ingesamt durchlese, habe ich immer
mehr den Eindruck, dass alle die Lösung kennen, nur ich nicht.

das täuscht. Es gibt hier im Forum viele, die sich nicht zu schreiben trauen.
Wenn ich z.B. nur an die Heerscharen von Stockfisch-Compilierern denke

Ich bin aber ganz gekniffen darauf, die Lösung von Timo H. mit der superlangen
Dauer kennenzulernen.

Ingo Althöfer.
Parent - By Timo Haupt Date 2016-08-27 16:26
Ingo Althöfer schrieb:

Ich bin aber ganz gekniffen darauf, die Lösung von Timo H. mit der superlangen
Dauer kennenzulernen.


Hallo Ingo,

die ist inzwischen viel weiter oben im Thread von mir beschrieben worden - leider ohne Kenntnis des Erwartungswertes für die durchschnittliche Dauer der Befreiungszeit. Bin gespannt, ob du die Berechnung nachliefern kannst - ich bin ratlos.

Viele Grüße
Timo
Parent - - By Ingo Althöfer Date 2016-08-27 08:51
Glückwunsch!

Nach nochmaligem Lesen bin ich der Überzeugung, dass dieses im
wesentlichen eine richtige Lösung ist, wenn auch umständlich formuliert.

Vielleicht sollen wir sie einfach noch ein paar Tage stehen lassen, bevor wir
eine klarere Formulierung präsentieren. Dann haben alle stillen Mitlöser die
Wahl:
entweder selbst lösen oder die Bechmann-Lösung verstehen.

Ingo Althöfer.
Parent - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 09:13
Na dann haben wir es doch zumindest "im Prinzip" doch noch gelöst.

Die Schwierigkeit scheint zu sein, dass die anderen beiden die zugegebenermaßen komplexen Regeln verstehen. Eigentlich wollte ich ein einfaches Regelwerk das auch normale Gefangene verstehen können.     
Parent - By Wolfram Bernhardt Date 2016-08-27 01:22 Upvotes 1
Schönes Rätsel.

Ich habs raus. Aber ich sags erstmal nicht.
Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 15:07 Edited 2016-08-27 15:35
nochmal in komprimierter, nicht umständlicher und vermutlich auch nicht nachvollziehbarer Form (da hilft doch die ausführliche Darstellung mit 6 Schritten, denn sie ist identisch):

I.  Nur ein von den Gefangenen bestimmter Moderator darf zum König gehen und verkünden, dass alle 3 an der Lampe waren. Er tut das dann, wenn er überzeugt ist, dass alle drei schon im Lampenraum waren.
II. Nur der Moderator sorgt dafür, dass die Lampe AN ist, wenn er an der Reihe ist und den Raum verlässt.
III. Ist einer der beiden dran, muss er die Lampe AUS schalten, wenn er die Lampe leuchten sieht.
     Als Wiederholer verzichtet er auf den Gang zum Raum.
Parent - - By Frank Brenner Date 2016-08-27 16:15
Michael,

soweit so gut.

und jetzt machst du es für beliebig viele Menschen.

Übrigens darf ein Wiederholer nicht auf den Gang zum Raum verzichten.

Grüße
Frank
Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-27 22:20 Edited 2016-08-27 22:22
Ob der Kandidat die Lampe nicht betätigt oder gleich auf den Gang verzichtet ist doch in der Wirkung der Prozedur gleichgültig. In der komprimierten Form versuchte ich die einfachste Anweisung zu finden.

Für n Personen: Der Moderator geht zum König, wenn er zum (n+1). Mal die Glühbirne einschalten muss.
Parent - - By Frank Brenner Date 2016-08-27 23:38

> Ob der Kandidat die Lampe nicht betätigt oder gleich auf den Gang verzichtet ist doch in der Wirkung der Prozedur gleichgültig.


Ja,  da hast du schon recht.

Jetzt wo du die Lösung wahrscheinlich gefunden hast, wäre es doch geschickt wenn du versuchen könntest die Lösung noch einmal komplett und so knapp wie es dir möglich ist zusammenzufassen; ohne Baumdiagramm.
Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-28 00:17 Edited 2016-08-28 00:20
I. Nur der Moderator (ein von den Gefangenen bestimmt) sorgt immer dafür, dass die Lampe AN ist, wenn er an der Reihe ist und den Raum verlässt. Alle anderen dürfen das Licht NIE einschalten.

II. Ist einen anderer, der nicht der Moderator dran ist, muss er die Lampe AUS schalten, wenn er die Lampe leuchten sieht wenn er zum 1. Mal in dem Raum ist.
     Als Wiederholer verzichtet er künftig auf den Gang zum Raum (oder lässt die Finger vom Schalter an der Glühbirne).

III. Nur der Moderator darf zum König gehen und verkünden, dass alle n Gefangenen (n>2) an der Lampe waren. Er tut das dann, wenn er überzeugt ist, dass alle n Gefangenen (einschließlich dem Moderator selbst) schon im Lampenraum waren.
     Das ist dann der Fall, wenn er zum n. Mal die Lampe EIN schalten muss.
Parent - - By Frank Brenner Date 2016-08-28 01:11
Angenommen ich bin nicht der Moderator und ich werde an einem beliebigen Tag erstmalig  in den Raum gebeten  und die Lampe ist bereits AUS wenn ich den Raum betrete.

Nach deinen I,II,III  müsste ich dann die Lampe so belassen wie sie ist und wenn ich dann das nächste mal nochmal in den Raum gebeten werde könnte ich darauf verzichten und nicht mehr wieder in den Raum gehen.

Ist dies so von Dir beabsichtigt ?
Parent - - By Michael Bechmann Date 2016-08-28 01:14 Edited 2016-08-28 01:50
Siehe umständliche Form mit 6 Schritten: "II. Gehen die beiden Anderen zum 1. Mal in den Raum, lassen sie die Lampe AUS. Das bleibt auch solange so, bis der Moderator dran war."



>Nach deinen I,II,III  müsste ich dann die Lampe so belassen wie sie ist"


Wenn sie AUS ist - JA.
Wenn man zum ersten Mal eine leuchtende Lampe sieht - NEIN. Dann schaltet man sie AUS und betritt den Raum nie mehr wieder.

vgl. die Formulierung: "Als Wiederholer verzichtet er künftig auf den Gang. " - also nur dann, wenn er die Lampe (zum einzigen Mal) die Lampe ausgeschaltet hat, nicht vorher sondern erst dann, also eben künftig.

>"und wenn ich dann das nächste mal nochmal in den Raum gebeten werde könnte ich darauf verzichten "


Nicht unbedingt. Erst, wenn man zuvor die Lampe einmal ausgeschaltet hat - also künftig.

Ich habe schon geahnt, dass es unverständlich wird je kürzer die Formulierungen werden.
--------------

Wir nehmen also hier die Form, die von Herrn Martan als umständlich kritisiert wurde.

Zitat:
  ich versuche es in deinem Sinne hier und anderswo schon lange und komme mehr und mehr zu dem Schluss, ob du ausführlich und umständlich


Tja, es geht doch nicht anders - Eine kurze Form scheint eben leider nicht verständlich zu sein. Das hatte ich schon am Nachmittag hier vermutet.

siehe:
Zitat:
Ich konnte ... entgegnen, dass ich das bewusst so mache, denn wäre es anders (ich würde Formeln und Fachbegriffe nutzen), würden 99% mich nicht verstehen. Also versuche ich entsprechend der 99% der Mitmenschen alles "idiotensicher" zu erzählen.
Den 96 Mitgefangenen muss man auch alles "haarklein" erzählen - Die Regeln sind leider nicht so einfach und man kann nicht davon ausgehen, dass alle IQ>120 haben.


I.  Nur der Moderator darf zum König gehen und verkünden, dass alle n an der Lampe waren.
II. Gehen die beiden Anderen zum 1. Mal in den Raum, lassen sie die Lampe AUS. Das bleibt auch solange so, bis der Moderator dran war.
III. Nur der Moderator schaltet die Lampe AN und er muss das auch tun. Die Regel II erlischt dann.
IV. a) Ist der Moderator auch an den Folgetagen dran bleibt die Lampe weiterhin AN.
     b) Ist einer der beiden dran, muss er die Lampe AUS schalten, wenn er die Lampe leuchten sieht, wenn er zum 1. Mal den Lampenraum besucht.
     Als Wiederholer darf er den Schalter nie mehr betätigen, egal, ob er den Zustand "AUS" oder "AN" vorfindet. (*)
V.  Der Moderator stellt eines weiteren Tages fest, dass er die Lampe an seinem ersten Besuch der Lampe angeschaltet hat und auch bereits festgestellt hat, dass er beim zweiten Versuch
     die Lampe auch schon einmal AN angeschaltet hat. Das bedeutet, dass zwischen dem 1. Besuch und dem 2. Besuch ein anderer die Lampe nämlich AUS geschaltet hat.
     Kommt er zum n. Versuch in den Lampenraum und stellt fest, dass die Lampe wieder AUS ist, weiß er, dass auch der letzte Kandidat die Lampe AUS gestellt hat.
     (Der Zweite, der Dritte bis zum Letzen schon mal die Lampe ausgeschaltet hat, darf das nicht mehr! siehe (*) ).
VI. Der Moderator schaltet zum n. Mal die Lampe AN - und er kann mit ruhigem Gewissen zum König gehen, weil er weiß, dass auch die beiden anderen schon vor der Lampe waren.
Parent - By Frank Brenner Date 2016-08-28 01:35
Ja, Herzlichen Glückwunsch.

Jetzt hast du es auch für mich verständlich gemacht, dass du es richtig gemacht hast.

> Ich habe schon geahnt, dass es unverständlich wird je kürzer die Formulierungen werden.


Es gibt durchaus eine noch kürzere und unmißverständliche Formulierung.
Parent - By Michael Bechmann Date 2016-11-15 18:24 Edited 2016-11-15 19:09
Zusatzfragen:

1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Gefangenen nacheinander aufgerufen werden ohne dass dazwischen Wiederholer aufgerufen werden, d.h.,  dass das Spiel am n. Tag endet?
Das wäre die kürzeste Dauer des Spiels.

meine Hypothese: n! / (n^n) ; braucht noch einen Beweis oder eine Widerlegung mit einer dann korrekten Lösung


2) Wie lange dauert das Spiel im Mittel (Erwartungswert)? Bitte mit nachvollziehbarer Erklärung.

Da habe ich noch keine Hypothese.
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