Dieses Rätsel ist entstanden, nachdem mir Wolfram Bernhardt
vor einigen Wochen ein Programm zur Analyse gewisser Zahlen-
spiele geschrieben hatte. Auch wenn das gleich vorgestellte
Spiel damit nicht berechnet werden kann, möchte ich Wolfram
bitten, sich zurückzuhalten.

Prolog: Quadratzahlen kennt jeder: 1, 4, 9, 16, ...

Dreieicks-Zahlen sind nicht so verschieden:
1, 3, 6, 10, 15, ...
Man erhält sie durch einfache Summenbildung:
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10 ...

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Hier ist ein Subtraktions-Spiel für zwei Spieler, die abwechselnd
am Zug sind. Aktuell ist eine positive natürliche Zahl n gegeben.
Der Spieler, der am Zug ist, darf von n eine gewisse natürlich
Zahl abziehen. Mit dem Rest geht es dann weiter. Sieger ist, wer
die Zahl auf 0 bringt.

Die erlaubten Züge für Spieler A: Ziehe eine Quadratzahl (<= n) von n ab.

Die erlaubten Züge für Spieler B sind: Ziehe eine Dreieckszahl (<= n) von n ab.

Von beiden Sorten gibt es unendlich viele Zahlen, wobei es für jedes
n >= 16 mehr Dreieckszahlen als Quadratzahlen unter n gibt.

Im Spiel passiert aber folgendes, wenn beide Spieler
optimal agieren: Wenn der Quadratspieler A beginnt,
gibt es nur endlich viele Zahlen, für die er den Gewinn
nicht erzwingen kann.

2 ist so eine Zahl: A muss 1 abziehen, und B zieht dann
auch 1 ab und gewinnt direkt.

7 ist auch so eine Zahl: A kann 1 oder 4 abziehen.
Zieht er 1 ab, bleiben 6, und B gewinnt direkt.
Zieht er 4 ab, bleiben 3, und B gewinnt auch direkt.

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Kleine Lösung: Man gebe die größte Zahl an, von der
aus A nicht gewinnen kann.

Große Lösung: Man beweise, dass es nur endlich
viele Zahlen n gibt, von denen aus A verliert, wenn
B optimal spielt.

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Ich bin stolz darauf, dass mir in der vorletzten Woche eine
große Lösung gelungen ist. Und dabei habe ich nebenbei
auch die kleine Lösung gefunden.

Wenn es keine unvorhergesehenen Ereignisse gibt, werde
ich am Oster-Montag meine Lösung hier und auch in einem
anderen Forum vorstellen.

Jetzt bin ich gespannt, was die mathe-affinen Foristen bei dem
Problem hinbekommen. Wenn es wirklich schöne Lösungen bis
Ostern gibt, werde ich dafür Buchpreise spendieren (Rechtsweg
ausgeschlossen).

Frohes Knobeln wünscht Ingo.