Eine zahme Variante des Collatz-Problems

By Ingo Althöfer Date 2025-08-21 13:45 Upvotes 1

Das Collatz-Problem ist ja bekannt:

Für ungerades n bilde
n -> 3n+1, dann runter-halbieren, bis wieder ungerade.
Vermutung ist, dass alle ungeraden Startwerte zur 1 runterlaufen.

Eine einfache Umformulierung ist: Für ungerades n bilde
n -> 1,5*n + 0,5, dann runter-halbieren.

Für n < 100.000 liefert
n=77.031 die längste Folge (128 Glieder) und zwischendurch
als Maximalwert 7.311.005

******************************************

Die Variantenregel:
Für ungerades n bilde
1,25*n, und teile so lang wie möglich durch 2 und 3, bis eine
Zahl erreicht ist, die weder durch 2 noch 3 teilbar ist.

Vermutung: Für jedes Start-n läuft diese Folge in die 1.

Fü n < 100.000 liefert
n=24.671 in 38 Schritten die größte Länge, wobei der größte
Zwischenwert = 36.503 ist.

Die Daten sind keine Überraschung, weil 1,25 < 1,5 und weil
man beim Teilen durch 2 und 3 typischerweise schneller runterkommt
als beim Teilen nur durch 2.

Das (5/4; 2,3)-Problem ist also eine zahme Variante des Collatz-Problems.

Schafft jemand einen Beweis für die Vermutung?
Ich würde mich spendabel zeigen für den ersten, der es schafft:
1.000 Euro Belohnung,
Deadline 31. Dezember 2025, Rechtsweg ausgeschlossen.

Frohes Schaffen,
Ingo.

By Wolfram Bernhardt Date 2025-08-23 08:55

Hi Ingo,

nicht, dass ich mich an einem Beweis wage, aber ich habe trotzdem eine Frage zu der 1,25er-Variante:

Nach dem Multiplizieren der ungeraden Zahl mit 1,25 hat man ... ,25 oder ... ,75. Da scheint noch zu fehlen, wie man von da zu der nächsten natürlichen Zahl kommt, die man dann runter "zwei/drei-t".

Liebe Grüße
Wolfram

By Ingo Althöfer Date 2025-08-23 10:03

Hallo Wolfram,

Wolfram Bernhardt schrieb:

Nach dem Multiplizieren der ungeraden Zahl
mit 1,25 hat man ... ,25 oder ... ,75. Da scheint noch zu fehlen, wie
man von da zu der nächsten natürlichen Zahl kommt, die man dann
runter "zwei/drei-t".

danke für den Hinweis. Immer abrunden.

Zwei Beispiele an konkreten Zahlen:

7 -> 5/4 * 7 = 35/4 = 8 + 3/4 abgerundet zu 8
dann runterhalbiert bis zur 1.

17 -> 5/4 * 13 = 85/4 = 21 + 1/4 abgerundet zu 21
Teilen durch 3 gibt -> 7.

Keine Angst, der Beweis sollte nicht sooo schwer sein.
Immerhin ist 5/4 < 3/2, und man kann durch 2 und 3 teilen.

Viele Grüße, Ingo.

By Wolfram Bernhardt Date 2025-08-23 10:29

Ah, okay, immer abrunden. Danke!

Ich kann das mit Computerhilfe ohne Weiteres für alle Zahlen bis zu einer gewissen Obergrenze beweisen - aber das lässt ja die weitaus größere Menge der übrigen Zahlen aussen vor

Viele Grüße
Wolfram

By Ingo Althöfer Date 2025-08-23 10:37

Wolfram Bernhardt schrieb:

Ich kann das mit Computerhilfe ohne Weiteres
für alle Zahlen bis zu einer gewissen Obergrenze beweisen
- aber das lässt ja die weitaus größere Menge der übrigen Zahlen aussen vor

Für alle Startwerte bis 200.000 habe ich es
auch schon auf dem Rechner gemacht. Die
Folgen konvergieren alle in die 1.

VG, Ingo.