Bilde zu n die beiden Zahlen 3n-1 und 3n+1 und
halbiere jeweils runter. Seien k1 und k2 die beiden
Ergebnisse.

k1 und k2 sind beide ungerade. Also ist m=k1+k2 gerade.
Halbiere m runter. Das Ergebnis ist das neue n.

Beispiele:

n=1 führt zu
3*1 - 1 = 2 -> 1
3*1 + 1 = 4 -> 1
1+1 = 2 -> 1
Also ist 1 ein Fixpunkt

n=3 führt zu
3*3 - 1 = 8 -> 1
3*3 + 1 = 10 -> 5
1+5 = 6 -> 3
Also ist auch 3 ein Fixpunkt.

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n=31 führt zu
3*31 - 1 = 92 -> 23
3*31 + 1 = 94 -> 47
23+47 = 70 -> 35

n=35 führt zu
3*35 - 1 = 104 -> 13
3*35 + 1 = 106 -> 53
13+53 = 66 -> 33

n=33 führt zu
3*33 - 1 = 98 -> 49
3*33 +1 = 100 -> 25
49+25 = 74 -> 37

n=37 führt zu
3*37 - 1 = 110 -> 55
3*37 +1 = 112 -> 7
55+7 = 62 -> 31

Also gibt es den Vierer-Zyklus
31 -> 35 -> 33 -> 37 -> 31

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Vermutung: Es gibt insgesamt nur endlich viele Zyklen.
Jeder ungerade Startwert n läuft in einen dieser Zyklen.

Frage: Gibt es weitere Zyklen ausser denen
mit 1 oder 3 oder 31?

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Dieses Modell ist glatter als 3n-1 allein oder
3n+1 allein, weil einer der Werte etwa zu 3n/2,
führt, der andere etwa zu 3n/4.
3n/2 + 3n/4 = 9n/4.

Man kann m mindestens einmal durch 2 teilen,
also ist das Ergebnis höchstens in etwa 9n/8.
(Es gibt also keine grossen Aufwärtssprünge mehr
von n zu etwa 3n/2.)

Viele Grüße, Ingo.