strategische Denkaufgabe...

By Frank Brenner Date 2021-07-10 22:59 Edited 2021-07-10 23:21

Ich würde den zweiten Umschlage nehmen mit den 200 euro

Nachdem du das Rätsel geändert hast würde ich eine Münze werfen und je nach Ergebnis den ersten oder den zweiten Umschlag nehmen.

Nach 100 Jahren hätte ich ca. 50 x 50€ + 50 x 200 € = 50x 125 €, also mehr als die konservativen 50x 100€

By Michael Bechmann Date 2021-07-10 23:19

Ja, da war mein Text nicht präzise gewesen und habe ihn nochmal überarbeitet: Der Angestellte weiß vor der Auswahl eines der beiden Umschlages nicht, ob er 50 oder 200 Euro finden wird.

By Andreas Mader Date 2021-07-10 23:23

Meine erste Reaktion ist die Umschläge zu nehmen, denn die Gewinnerwartung ist dort (200+50)/2 = 125 Euro, während die 100 Euro fix sind. Aber vermutlich ist es nicht so einfach wie ich mir das vorstelle.

Schöne Grüße
Andreas

By Michael Bechmann Date 2021-07-10 23:31 Edited 2021-07-10 23:35

Umschläge? So geht das Spiel nicht.

nur Einen! Umschlag; nicht etwa alle beide

By Andreas Mader Date 2021-07-10 23:35

Meine Überlegung war: Wenn der Chef 100 Angestellte hat und jedem dieses Angebot macht, muss er damit rechnen, ca. 12500 Euro zu zahlen, wenn jeder die Wahl-Umschläge nimmt. Nimmt keiner einen Umschlag, muss er nur 10000 Euro zahlen. Also muss das Angebot mit den Umschlägen zwangsläufig besser sein.

Schöne Grüße
Andreas

By Michael Bechmann Date 2021-07-10 23:38 Edited 2021-07-10 23:44

Das Argumentation führt nicht zur Lösung, denn der Chef hat genau 846 Angestellte. Er will aber in der dargestellten Situation nur einem zum Geburtstag beschenken und die anderen 845 nicht, nicht an diesem Tag und auch nicht später.

Oder anders: Es ist völlig egal, wie viele andere Angestellte es gibt, denn die Anzahl der anderen gehört nicht zur Aufgabe.
Man könnte es z. B. auch im familiären Rahmen exklusiv zum Lieblingssohn 18. Geburtstag durchführen und das Spiel wäre gleich.

By Andreas Mader Date 2021-07-10 23:41 Edited 2021-07-10 23:50

Ich verstehe nicht, warum diese Argumentation nicht zur Lösung führt. Auch wenn ich als Einzelner vor den Umschlägen stehe kann ich 50 Euro verlieren oder 100 Euro gewinnen. Das ist eindeutig zu meinen Gunsten.

Außerdem lässt sich durch theoretische Überlegungen wie "Was passiert, wenn das viele machen" sehr wohl etwas klar machen, was bei einem Einzelfall nicht ganz so klar ist. Wenn es bei hohen Zahlen dazu führt, dass eine Lösung besser erscheint, dann wird man wohl beweisen müssen, warum für einen Einzelnen die andere Lösung besser sein soll.

By Michael Bechmann Date 2021-07-10 23:48

Der Angestellte fragt "Wie viele Angestellte werden heute mit dem Spiel noch beschenkt?"

Chef: "Keiner!"

>"Auch wenn ich als Einzelner vor den Umschlägen stehe kann ich 50 Euro verlieren oder 100 Euro gewinnen"

So ist es.

By Frank Brenner Date 2021-07-10 23:48

Also ein Chef der nur einem einzigen seiner 846 Angestellten so ein Geschenk überreichen möchte ist bestimmt geizig.
Gut möglich, daß er in beiden Umschlägen nur 50€ reinpackt.

Also dann 100€ nehmen

By Michael Bechmann Date 2021-07-10 23:54 Edited 2021-07-10 23:57

Es heißt aber im Text, dass auf jeden Fall 50 oder 200 sind. Das bedeutet, dass eben nicht in beiden 50 enthalten sind - Das steht doch wörtlich im Text.

Das Wort "geizig" ist unmathematisch, sondern 100% Psychologie. Deswegen ist es auch kein Schritt zur Lösung - Das steht auch wörtlich im Text im letzten Satz.

Die 846 habe ich geschrieben, um darzustellen, dass es völlig egal ist. Wäre es wichtig, müsste man es doch zur Aufgabe schreiben.

By Frank Brenner Date 2021-07-11 00:13

Also aktuell ist es ja so, daß jeder der hier im Forum geantwortet hat eine gute Argumentation für die Wahl der Umschläge beschrieben hat.

Wenn du der Meinung bist, dies sei nicht richtig oder Diskussionswürdig. dann solltest du die jetzt ein Argument dagegen nennen *gespannt ist*

By Michael Bechmann Date 2021-07-11 02:30 Edited 2021-07-11 03:30

Ja, ich hatte am Anfang erwähnt, dass ich auch eine Idee hatte. Ich wollte sie aber nicht sofort dazuschreiben, denn das hätte möglicherweise eure Argumentation beeinflusst.
Ich wollte es eher so, dass man nicht gleich widersprechen kann. weil ICH eine Idee dazu habe.

Meine Idee war ganz genau so, wie ihr. Du und Tommy haben ziemlich das gleiche aufgeschrieben wie ich im Stillen und denke auch, man sollte einen der Umschläge nehmen und hoffen, dass man den mit 200 Euro genommen hat.

Überlegung dazu: Man variiert die Aufgabe so, dass der Faktor 1/2 bzw. 2 auf 1/100 und 100 sein soll. Dann wären in dem ersten Umschlag 1 Euro und im anderen 10.000 Euro. Da würde doch jeder die Option der Umschläge nehmen, wenn man mit 50% 10.000 Euro bekommt und im Negativfall auf 99 Euro verzichten.
Hätte ich das so geschrieben (1 € oder 10.000 €) wäre es aber eher eine Scherzaufgabe gewesen. Bei einem kleinen Faktor (1/2 oder 2) scheint die Frage schwieriger zu entscheiden sein.

Allerdings: Vielleicht irren wir alle gemeinsam und ein Mathematiker beweist uns, dass wir vernünftigerweise die 100 Euro nehmen sollten.

Wenn nicht:

> E(X) = 0,5 * 200 + 0,5 * 50 = 125 € > 100 € oder deine gleichwertige Lösung.

(Oder 0,5*1 + 0,5*10.000 = 10.001 sehr > 100).

-----

Variante der Aufgabe, die vermutlich schwerer zu entscheiden ist:

Der Chef verspricht am Anfang gar nicht 100 Euro, sondern legt sofort zwei Umschläge vor. Unter Aufsicht des Chefs soll der Angestellte einen davon öffnen.

Danach erklärt der Chef, dass im anderen Umschlag entweder doppelt soviel oder nur die Hälfte des anderen enthält.
Wählt der Angestellte den anderen Umschlag, dann gilt ausschließlich dieser Betrag im anderen Umschlag als Geschenk.

Der Angestellte weiß also nicht, ob er gerade den höheren Preis oder den niedrigeren Preis geöffnet hat.

Sollte er den anderen Umschlag wählen? Kann man auch in diesem Fall E(X) = 0,5 * 2x + 0,5 * 0,5x = 1,25 x (*)
(x statt 100, denn man kennt die Lösungsmenge nicht vollständig nicht: Man kennt nur x und die Faktoren 1/2x und 2x, aber die Verteilung von 1/2 x und 2x nicht).
Ist der Rechenansatz anders als bei (*)?

Hintergründige Gedanken:
Angenommen, der Angestellte wählt Umschlag 1.
Mit dem Hintergrund von oben "E(X) = 0,5 * 2x + 0,5 * 0,5x = 1,25 x und das ist größer 1x", also nimmt er den Umschlag 2.

Aber nimmt er zuerst dem Umschlag 2 wäre die Denkweise ganz genau so E(X) = 0,5 * 2x + 0,5 * 0,5x = 1,25 x, dann muss er den Umschlag 1 nehmen.

Das ist insgesamt ein Widerspruch. Ist er nur so zu lösen, dass es tatsächlich egal ist, ob er den Umschlag tauscht? Wenn es egal ist, kann man auch den erstgewählten Umschlag nehmen und den anderen doch nicht öffnen ... verzwickte Aufgabe, oder doch nicht?

By Frank Brenner Date 2021-07-11 13:07

Zitat:

Der Chef verspricht am Anfang gar nicht 100 Euro, sondern legt sofort zwei Umschläge vor. Unter Aufsicht des Chefs soll der Angestellte einen davon öffnen.

Danach erklärt der Chef, dass im anderen Umschlag entweder doppelt soviel oder nur die Hälfte des anderen enthält.
Wählt der Angestellte den anderen Umschlag, dann gilt ausschließlich dieser Betrag im anderen Umschlag als Geschenk.

Der Angestellte weiß also nicht, ob er gerade den höheren Preis oder den niedrigeren Preis geöffnet hat.

Sollte er den anderen Umschlag wählen? Kann man auch in diesem Fall E(X) = 0,5 * 2x + 0,5 * 0,5x = 1,25 x (*)

Er sollte den Umschlag nicht wechseln, denn die beiden Wahrscheinlichkeiten von 0,5 für das doppelte bzw 0,5 für die Hälfte sind fehlerhaft.

By Frank Brenner Date 2021-07-11 13:11 Edited 2021-07-11 13:15

Beispiel1: Der Chef packt per Zufall 100€ und 200€ in den Umschlag.
Du zeigst mit dem Finger auf einen Umschlag.
Dann betragen die Wahrscheinlichkeiten für den anderen Umschlag entweder 0 / 1 oder 1 / 0, aber keinesfalls 0,5 und 0,5

Beispiel 2: Der Chef packt einen "beliebigen" Wert in den einen Umschlag und in den anderen Umschlag entweder die Hälfte oder das Doppelte (Münzwurf)
Auch hier lauten die Wahrscheinlichkeiten nicht 0,5 / 0,5

Wenn du dieses Spielchen zig mal wiederholst und jedesmal anschließend auflöst wirst du überraschend feststellen:

Je höher der Betrag in dem zuerst gewählten Umschlag ist umso geringer ist die Wahrscheinlichkeit daß im anderen Umschlag der doppelte Betrag steckt.
Bei immer größer werdenden Beträgen im erstgewählten Umschlag konvergiert die Wahrscheinlichkeit gegen 0 daß im anderen Umschlag der doppelte Betrag enthalten ist.

By Frank Brenner Date 2021-07-11 13:18

Dein Rätsel ist im wesentlichen der Widerspruchsbeweis für die Frage "Gibt es eine Gleichverteilung auf den Natürlichen Zahlen"

Gäbe es eine Gleichverteilung, so wäre es tatsächlich vorteilhaft zu wechseln.
Da es aber egal ist welcher Umschlag gewählt wird, gibt es keine Gleichverteilung auf N

By Michael Bechmann Date 2021-07-11 13:52 Edited 2021-07-11 14:03

Man kann doch aber aus einer einzelnen konkreten Aufgabe keine grundsätzlichen Zahlenverteilungen ableiten?

Die Argumentation müsste doch andersherum sein: Wenn man die Zahlenverteilung zu kennen glaubt, müsste man in der Aufgabe auch in zweckmäßiger Weise (gemäß der Verteilung) handeln.

Was ist mit "für den anderen Umschlag entweder 0 / 1 oder 1 / 0" gemeint?

By Frank Brenner Date 2021-07-11 14:02

Zitat:

Was ist mit "für den anderen Umschlag entweder 0 / 1 oder 1 / 0" gemeint?

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß im anderen Umschlag das Doppelte / die Hälfte drin ist.

By Tommy Tulpe Date 2021-07-10 23:49

Meines Erachtens trivial, aber möglicherweise habe ich etwas übersehen.
Erwartungswert des Gewinn X, wenn man sich fürs Ziehen entscheidet:
E(X) = 0,5 * 200 + 0,5 * 50 = 125 € > 100 €
Also ist diese "Risikovariante" statistisch zu bevorzugen.

By Ulf Flörsheimer Date 2021-07-11 07:41 Upvotes 2

Das Ganze hängt von der Risikopräferenz des "Spielers" ab:

- Bin ich deutlich risikoavers, dann nehme ich die sicheren 100 Euros

- Bin ich schwach risikoavers, risikoneutral oder risikofreudig, dann entscheide ich mich für den höheren Erwartungsnutzen und lasse mich auf das "Umschlagsspiel" ein.

Übrigens: Risikoavers heißt, jemand entscheidet sich bei der Wahl zwischen einem sicheren Nutzen und einem gleichhohen Erwartungsnutzen für den sicheren Nutzen, beim risikofreudigen Menschen ist es genau umgekehrt. Der risikoneutrale Teilnehmer ist in derselben Situation indifferent, d.h. ihm ist es egal, ob er den sicheren Nutzen hat oder ob er zockt.

Da in diesem Spiel der Erwartungsnutzen sogar deutlich über dem sicheren Nutzen liegt, wird wohl nur der "deutlich risikoaverse" Spieler die sicheren 100 Euros dem Glücksspiel vorziehen. Der risikoaverse Spieler empfindet beim Glücksspiel einen "disutility" (ein deutsches Wort könnte etwa "Leid" sein). Solange die zu erwartendenden 25 "Mehr-Euros" diesen disutility überkompensieren, wird auch er zocken, ansonsten eben nicht.

By Micha Wehrmann Date 2021-07-11 16:01

Die Präferenz für oder gegen ein Risiko ist für uns Menschen doch recht einheitlich,
das ergaben die Arbeiten von Kahneman & Amos.

Die Probanden sollten zwei Entscheidungen treffen.

Entscheidung I
   Wählen Sie zwischen:
   A) dem sicheren Gewinn von 240 Dollar oder
   B) der 25%-Chance auf 1.000 Dollar und der 75%-Chance, nichts zu gewinnen.

Entscheidung II:
   Wählen Sie zwischen:
C) dem sicheren Verlust von 750 Dollar oder
D) der 75%-Chance, 1000 Dollar zu verlieren und der 25%-Chance, nichts zu verlieren.

73 % der Befragten wählten die schwächere Kombination AD.
Die optimale Kombination ist aber BC.
Nur 3 % wählten sie.

FAZIT

Wenn wir sicheren Gewinn in Aussicht haben, meiden die meisten von uns das Risiko
und vergeben so die wahrscheinliche(!) Chance auf höheren Gewinn.

Droht uns aber sicherer Verlust, gehen wir ins Risiko -
auch wenn diese Strategie wahrscheinlich(!) noch mehr Verlust beschert.

[D. Kahneman (2012): Schnelles Denken, langsames Denken, 411f]

Micha Wehrmann

By Micha Wehrmann Date 2021-07-11 08:33

Der Angestellte sollte nicht die sicheren 100 Euro nehmen
sondern ins Risiko gehen und einen der beiden geschlossenen Umschläge wählen.

Überlegung:

Würde das Spiel 100 mal wiederholt gewönne er
mit der sicheren Variante 100 x 100 € = 10.000 €

Mit der Risikovariante gewinnt er 50 x 50 = 2.500
plus 50 x 200 = 10.000
zusammen 12.500

Vorteil der Risikovariante somit 25 %.

M. W.

By Ingo Althöfer Date 2021-07-11 13:40 Edited 2021-07-11 13:43 Upvotes 1

Lieber Herr Bechmann,

Ihr Aufgabe gefällt mir sehr, auch weil man daran viel über
Wirtschaftswissenschaften erklären kann - ich bin ja Verantwortlicher
eines Studiengangs für Wirtschaftsmathematik.

Wie Ulf Flörsheimer sehr gut erklärt hat, ist die Lösung des Problems
nicht so eindeutig. Es hängt von persönlichen Risikobereitschaften ab
und auch davon, ob es vielleicht im Hintergrund eine zweite Zielfunktion
gibt.

Man kann die Aufgabe auch gut für ein Meta-Rätsel nutzen. Bei Wiwi gibt
es - mindestens - zwei Fachrichtungen: BWL und VWL.
Dabei steht das eine für Betriebswirtschaftslehre und das andere für
Volkswirtschaftslehre. Grob gesprochen: BWLer sollen lernen, wie man eine
Firma am Laufen hält, VWLer wollen die Volkswirtschaft als Ganzes verstehen.

Gedankenexperiment: Man steht vor einem Hörsaal, in dem entweder 100
BWLer sitzen oder 100 VWLer. Man darf die Teilnehmer nicht fragen, ob sie
BWL oder VWL machen. Man darf ihnen aber eine Aufgabe stellen, die jeder
unabhängig vom Rest schriftlich lösen soll. Die Lösungen sammelt man ein,
liest sie durch und entscheidet dann auf BWL oder VWL.

Ich würde Ihre Aufgabe stellen. Wenn die Mehrheit mit dem Argument
0,5 * 50 = 0,5 * 200 = 125 > 100 kommt, tippe ich auf BWL.
Wenn Leute dagegen in grösserer Zahl mit Nutzenfunktionen und Risiko-
Aversionen argumentieren, glaube ich an VWL.
Das Thema "Nutzenfunktionen" kommt zwar in BWL auch vor. Für die
meisten BWLer ist das aber zu kompliziert und sie blenden es der Ein-
fachheit halber aus.

Jetzt soll mich aber bitte niemand bei den BWL-ern verpetzen.
*****

Wenn es gewünscht wird, kann ich auch erklären, was die Rätsel-Aufgabe
für eine Rolle bei Magnus Carlsen spielen könnte.

Ingo Althöfer.

By Michael Bechmann Date 2021-07-11 14:36 Edited 2021-07-11 15:21

Hallo, Prof. Althöfer,

ich habe im Laufe der Diskussion eine weitere Variante der Aufgabe vorgestellt. Ich "befürchte", dass der Rechenansatz mit 0,5 * 50 = 0,5 * 200 = 125 > 100 nicht zur Lösung führt, sondern, dass es komplizierter ist.

>"Das Thema "Nutzenfunktionen" kommt zwar in BWL auch vor. "

Zur BWL in der Fachhochschule wird auch VWL gelehrt (Grundstudium, 1. Semester). Wir blenden es nicht aus, sondern reaktivieren das Gelernte: Zur Nutzenfunktion hatte ich gelernt, dass im Monopolfall der Nutzenmaximum in der halben Sättigungsmenge ist und die Nutzenfunktion ist 0 zur Sättigungsmenge So war das wohl...muss noch mal die Studienmitschriften rausholen). Die mathematischen Hintergründe wurden aus mehrdimensionalen Differentialrechnung abgeleitet.
(Eine normale Frau wird heftig widersprechen: Der "Grenz-Nutzen" eines x. Paar Schuhe und das (x+1). Paar Schuhe wächst exponentiell [mit hohem Exponenten] und eine Sättigungsgrenze kennt sie gar nicht.

>"Wenn es gewünscht wird, kann ich auch erklären, was die Rätsel-Aufgabe

für eine Rolle bei Magnus Carlsen spielen könnte."

Ja gern, das wäre interessant.

mfg
Mil. Be.