Sommerrätsel

By Ingo Althöfer Date 2021-07-03 18:11 Upvotes 3

Mit Probieren und Intervalschachtelung gefunden:
vor 12 Stunden und 11 Minuten

By Thomas Plaschke Date 2021-07-03 22:21

>vor 12 Stunden und 11 Minuten

Vor was? So leicht isses nun auch wieder nicht

Viele Grüße
Th. Plaschke

By Wolfram Bernhardt Date 2021-07-03 22:24

Sehr hübsch von Ingo!

Eventuell spielt die Uhrzeit seines Posts ein Rolle...

Liebe Grüße
Justus Jonas, Peter Shaw und Bob Andrews

By Thomas Plaschke Date 2021-07-03 22:28 Upvotes 2

Darauf habe nicht geachtet

… aber kam die Maus nicht immer sonntags?

Viele Grüße
Th. Plaschke

By Ingo Althöfer Date 2021-07-04 09:00

Hallo Wolfram,

Wolfram Bernhardt schrieb:

Eventuell spielt die Uhrzeit seines Posts ein Rolle...

so ist es. Als früh Antwortender wollte ich die Lösung
nicht plump verraten. Eigentlich hätte ich gestern noch eine
Minute warten sollen und dann von 12 h 12 m schreiben,
um einen kleinen Bezug zur 144 zu haben.

Alle anderen vorgestellten Lösungswege nahmen ja eine Variable x
an und stellten dazu eine Gleichung auf. Nachdem ich im letzten
Jahr beim Blättern durch Abizeitungen festgestellt habe, wie schwer
sich viele Schüler mit Formeln und Gleichungen tun, habe ich -
nicht nur für dieses Rätsel - einen Weg kultiviert, der zwar nicht
besser ist, aber für "Mathe-Fürchter" weniger Hemmschwelle hat:
Probieren und wenn nötig Intervallschachtelung.

Zuerst eine Überlegung zur Eingrenzung: Die Maus ist schneller als
der Elefant und braucht für ihren zweiten Teil 4 Stunden. Also braucht
der Elefant für seinen ersten Teil mehr als 4 Stunden. Also muss die
Reise VOR 8 Uhr morgens losgegangen sein.

Sei AA der erste Wegteil für die Maus und damit der zweite Wegteil
für den Elefanten. Und sei BB dier erste Wegteil für den Elefanten und
damit der zweite Wegteil für die Maus.

Probieren wir mal 7 Uhr als Startzeit.
Für AA braucht die Maus also 12-7 = 5 Stunden und der Elefant 9 Stunden.
Für BB braucht die Maus 4 Stunden und der Elefant also 12 - 7 = 5 Stunden.
Die Zeitdauern für AA verhalten sich also wie 5 zu 9, und die für BB wie 4 zu 5.
Das kann nicht sein, da nach Aufgabenstellung das Geschwindigkeitsverhältnis
konstant sein soll,
aber 5 zu 9 < 4 zu 5.

Probieren wir jetzt 5 Uhr als Startzeit.
Für AA braucht die Maus also 12-5 = 7 Stunden und der Elefant 9 Stunden.
Für BB braucht die Maus 4 Stunden und der Elefant also 12 - 5 = 7 Stunden.
Die Zeitdauern für AA verhalten sich also wie 7 zu 9, und die für BB wie 4 zu 7.
Das kann nicht sein, da nach Aufgabenstellung das Geschwindigkeitsverhältnis
konstant sein soll,
aber 7 zu 9 > 4 zu 7.

Durch das umgedrehte kleiner-größer-Zeichen sollte die richtige Lösung also
zwischen 5 Uhr und 7 Uhr liegen. Damit können wir im Intervall von 5 bis 7
eine Intervallschachtelung machen, bis wir ein T gefunden haben, für dass
die beiden Zeitquotienten gleich oder fast gleich gross sind.

Schon beim Schritt mit Startzeit 6 geht es genau auf:
6 zu 9 = 4 zu 6.
Also ist 6 Uhr die richtige Startzeit.

Das ganze liest sich umständlicher, als es wirklich ist.

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Ein abstraktes ganz anderes Beispiel:
Gesucht wird eine Nullstelle von

f(x) = x^4 - 5*x^2 - 1

Man könnte eine Formel zum Lösen von Gleichungen vierten Grades anwenden.
Die sind aber nicht so handlich. Einfacher überlegt man sich

f(0) = -1
und
f(4) = 256 - 5*16 - 1 = 176

und macht dann Intervallschachtelung mit Startgrenzen 0 und 4.
*******************************************************

Justus

By Wolfram Bernhardt Date 2021-07-05 16:53

Hallo Ingo,

ja, die gute alte Intervallschachtelung. Habe ich in der Schule noch kennengelernt - zum Ziehen von Quadratwurzeln per Hand.
Dass das Verfahren an vielen Stellen anwendbar ist, ist den meisten vermutlich gar nicht so recht klar.

Zum Wurzel-Ziehen mochte ich es nicht besonders, mir kam das recht beliebig vor ("und wir hören auf, wenn uns die Stellen hinter dem Komma genug sind") - aber ich kenne auch gar keine anderes Verfahren und bei Wurzeln muss man manchmal einfach aufhören, wenn man genug hat.

Interessant finde ich, dass Du sagst, dass es für Mathe-Fürchter weniger Hemmschwelle hat. Ich habe ne ganze Weile drüber nachgedacht und glaube jetzt (anfangs nicht), Du hast Recht. Einen spontan plausiblen Wert nehmen gucken, was passiert, bekommt jeder hin. Und nächstes einen größeren oder kleineren. Das erspart auf jeden Fall kompliziertere Rechnungen.

Mich persönlich befriedigt das nicht so richtig, weil man bei Aufgaben, die kein so schön glattes Ergebnis haben wie diese, nie so recht weiß, ob man auf dem richtigen Weg ist und wie weit zum Ziel es noch ist. Aber für Aufgaben, mit denen ich erstmal nicht zurechtkomme, werde ich es jetzt mal anwenden.

Ich frage mich, inwieweit solche ein Lösung in Schule oder Uni anerkannt würde. Ich finde das Argument "ich habe das richtige Ergebnis und man kann sehen, wie ich hingekommen bin" oft ausreichend... andererseits möchte man in vielen Fällen auch sehen, dass Schüler/Studenten Dinge verstanden haben.

Man kann damit Aufgaben lösen ohne sie verstanden zu haben. Manchmal ein Nachteil, manchmal ein unschlagbarer Vorteil.

Gut, für mich ist die Methode auf dem Weg der Rehabilitierung

Viele Grüße
Bob (Recherchen & Archiv)

By Ingo Althöfer Date 2021-07-05 17:09

Hallo Wolfram,

Wolfram Bernhardt schrieb:

Interessant finde ich, dass Du sagst, dass es für
Mathe-Fürchter weniger Hemmschwelle hat...

Man muss es natürlich zuerst an etlichen Instanzen in der
Schulklasse üben lassen.

Zitat:

Ich habe ne ganze Weile drüber nachgedacht und glaube jetzt (anfangs nicht),
Du hast Recht. Einen spontan plausiblen Wert nehmen gucken, was passiert,
bekommt jeder hin...

Bei der Maus-Basel-Aufgabe habe ich als Einstieg zwei verschiedene
Längenwerte für Abschnitt 1 durchgerechnet:
250 Meter und 750 Meter.
Beides führte zu zulässigen Lösungen, die aber verschiedene
Zeiten für Abschnitt 3 ergaben.

Zitat:

Ich frage mich, inwieweit solche ein Lösung in Schule oder
Uni anerkannt würde...

An den Schulen gibt es im Mathe-Unterricht ganz andere Schwierigkeiten.
Für mich haben einige Mathe-Lehrer in vier Oberstufenklassen von allen
Schülern folgende Aufgabe ohne Nutzung von Taschenrechnern bearbeiten
lassen:
zweieinhalb * zweieinhalb = ?
Die Vielfalt der - falschen - Lösungen war beeindruckend...

Ingo.

By Thomas Plaschke Date 2021-07-03 22:19

Ich komme einfach nicht weiter.

Da sich beide um 12 Uhr treffen, weiß ich, dass die Maus 4 Stunden für die 1. Teilstrecke des Elefanten brauchte und der Elefant 9 Stunden für die 1. Teilstrecke der Maus. Auch weiß ich, dass beide Teilstrecken die Gesamtstrecke ergeben. Um aus Geschwindigkeit Strecken zu berechnen, brauche ich aber die Zeit. Und um Zeiten aus Geschwindigkeiten herleiten zu können, die Strecken. Ich weiß aber nur, dass der Elefant langsamer als die Maus war. Deswegen muss der Treffpunkt näher am Startpunkt des Elefanten sein als am Startpunkt der Maus. Ich überlege weiter ...

Viele Grüße
Th. Plaschke

By Wolfram Bernhardt Date 2021-07-03 22:21 Edited 2021-07-03 22:25 Upvotes 1

Hi!

Ich habe es mit klassischer Algebra gemacht und bei mir geht die Sonne um genau 6:00 Uhr auf.

Lösung kann ich aufschreiben, wenn es jemanden interessiert. (Aber nur, wenn es stimmen sollte

)

Viele Grüße
Wolfam

By Frank Brenner Date 2021-07-03 22:31

Hallo Wolfram,

du kannst gerne den Lösungweg aufschreiben; i.A. gilt ein Rätsel erst dann als korrekt gelöst wenn auch der Rechenweg nachvollziehbar ist ....

Grüße
Frank

By Wolfram Bernhardt Date 2021-07-03 22:47 Edited 2021-07-03 22:55 Upvotes 4

Hi Frank!

Nichts lieber als das:

Code:


Der Treffpunkt um 12:00, der natürlich näher an der Wohnung als am Funkhaus liegt, teilt die Gesamtstrecke in zwei Abschnitte, S1 und S2, wobei S1 die längere ist.

Das Tempo der beiden heisst Te (Tempo Elefant) und Tm (Tempo Maus). Es gilt offensichtlich:

1)  S1 = Te * 9h
2)  S2 = Tm * 4h

Den Zeitraum zwischen Sonnenaufgang und 12h kennen wir nicht, nennen ihn aber mal Zb12 (Zeit bis 12). Es gilt also auch:

3) S1 = Tm * Zb12
4) S2 = Te * Zb12

Nun setzen wir gleich, und zwar S1 in 1) und 3) sowie S2 in 2) und 4) und formen sie nach Zb12 um

5) Te * 9h = Tm * Zb12  => 
   Zb12 =  (Te * 9h) / Tm
   
6) Tm * 4h = Te * Zb12 =>
   Zb12 = (Tm * 4h) / Te

Nun setzen wir Zb12 gleich und sind es damit wieder los:

7)   Tm * 4h        Te * 9h  
     -------   =    -------
      Te             Tm

Nun multiplizieren wir beide Seiten mit Te und mit Tm. Und dann teilen durch h, um das auch loszusein. Es ergibt sich

8)  4 * Tm^2  =  9 * Te^2 

Hier springt einen an, dass man auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kann. Dann bekommt man:

9)  2 Tm = 3 Te   => Tm = 3/2 Te

Oder mit anderen Worten: Die Maus ist 1,5 mal so schnell wie der Elefant.

Der Rest ist einfach: Für S1 hat der Elefant 9h gebraucht, die Maus also 6h. Sie muss daher um 6 Uhr losgegangen sein.

By Hauke Lutz Date 2021-07-03 23:54 Upvotes 1

Hallo Wolfram,

für die vielen Zwischenschritte war ich zu faul.
Deswegen habe ich das mit einfacheren Formeln probiert.

Gruß
Hauke

Treffen (t1) = 12h
Maus (t2) = 16h
Elefant (t3) = 21h

Faktor Geschwindigkeit (t2 / t3) =
Wurzel (t3-t1) / Wurzel (t2-t1)
Wurzel 9 / Wurzel 4
1,5

Sonnenaufgang / Start (t0) =
t1 – (t2 – t1) * Faktor
12h – 4h * 1,5
6h

By Frank Brenner Date 2021-07-04 01:11 Upvotes 2

Gratuliere euch beiden.

Es gibt viele Wege zur Lösung.

Der einfachste Weg ist

Der Elefant braucht für die kurze Strecke x Stunden und die Maus 4
Der Elefant braucht für die lange Strecke 9 Stunden und die Maus x

daraus folgt:

x/4 = 9/x -> x^2 = 36 -> x = 6

Grüße
Frank

By Thomas Plaschke Date 2021-07-04 01:37

Dreck!

Den Term x/4 = 9/x hatte ich auch auf dem Papier und nach vielen gedanklichen Irrungen und Wirrungen tauchte irgendwo (auch) die 36 in einem Term auf. Ich dachte nur, wie verpolt ich wohl schon sein müsse, wenn sowas in der Rechnung auftaucht.

Angewandte bzw. veranschaulichte Mathematik hat's in der (also meiner) Schule bestenfalls im Physikunterricht gegeben. Jetzt gibt's die Quittung!

Viele Grüße
Th. Plaschke

By Wolfram Bernhardt Date 2021-07-04 01:44

Hi Frank!

Das sieht auch interessant aus, aber dass aus

Der Elefant braucht für die kurze Strecke x Stunden und die Maus 4
Der Elefant braucht für die lange Strecke 9 Stunden und die Maus x

folgt

x/4 = 9/x

finde ich immer noch erklärungsbedürftig.

Viele Grüße
Wolfram

By Frank Brenner Date 2021-07-04 10:24 Edited 2021-07-04 10:46 Upvotes 1

Hallo Wolfram,

Nehmen wir an wir machen ein Wettrennen und ich benötige immer 1,2 mal so viel Zeit wie du.

Wenn ich zb für 100 meter 12 brauche und du nur 10 s
Wenn ch für 300 Meter 36s und du nur 30s

Un du siehst: Der Quotient ist immer gleich, also 12/10 = 36/30 .... = 1,2

Im Rästel sind die Zahlen so, daß in beiden Brüchen geschickterweise jeweils die gesuchte Größe x vorkommt, also die Maus braucht dür die Strecke a 6 Stunden und der Elefant für b ebenfalls 6 Stunden

Also:
Der Elefant benötigt für die Strecke a 6 Stunden und die Maus 4 Stunden
Der Elefant benötigt für die Strecke b 9 Stunden und die Maus 6 Stunden

Also 6/4 = 9/6 und wenn wir die 6 nicht wissen ... so können schreiben wir x und lösen nach x auf.

Grüße
Frank

By Wolfram Bernhardt Date 2021-07-05 08:58

Hi Frank!

Ja, jetzt, am Montagmorgen verstehe ich es! Danke!

(Auch für die entgegenkommenden Einschätzungen unserer Zeit auf 100m

)

Viele Grüße und einen guten Start in die Woche
Wolfram

By Wolfram Bernhardt Date 2021-07-04 01:37

Hi!

Das sieht interessant aus, aber ich verstehe es nicht

Und damit man es versteht, hatte ich meine Lösung kleinteilig und mit Zwischenschritten aufgeschrieben.

Beste Grüße
Wolfram