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- - By Michael Bechmann Date 2013-05-07 01:28 Edited 2013-05-07 01:37
Mein Beitrag hat nicht direkt mit Schach und Spielen zu tun, aber ich schätze, dass hier auch mathematisch versierte Leser sind - vielleicht kann jemand meine Berechnungen nachvollziehen und korrigieren:

Seit Mai werden neuerdings auch "Zweier" als Lottogewinn mit 5 Euro belohnt. Ich habe mal versucht, zu berechnen, wie hoch die Chance für Zweier sind und mal meine Abiturkenntnisse (oder meine Kenntnisse aus der Universität?) bemüht.

Zunächst war ein Rechenansatz zu bestimmen und meine, es müsste eine "hypergeometrische Verteilung" sein.

P("Zweier") =  Binomialkoeff. (49;6) * Binomialkoeff. (49-6;6-2) / Binomialkoeff. ( 49;6).

Mit Excel  (Formel:   =HYPGEOMVERT(2;6;6;49) ) müsste die Wahrscheinlichkeit nur 13,24% sein - wenn ich mich beim Ansatz nicht vertan habe.

Anmerkungen: Die 49 sind die Grundmenge der Kugeln (neuerdings gelegentlich auch mal nur 47).
Die erste 6 ist die Anzahl der real ermittelten Kugeln, die andere entspricht der 6 Kreuze auf dem Lottoschein.
(Rechnerisch ist übrigens egal, ob 6 Kreuze auf dem Lottoschein eingetragen werden, aber fiktiv 8 Kugeln ausgelost werden oder mit "Lotto-System" 8 Kreuze auf dem Schein gemalt werden aber nur 6 Kugeln ermittelt werden.)
Die 2 entspricht meiner Zielvorstellung, in diesem Falle eben 2 für "Zweier".

Es scheint richtig sein, denn ich habe mit Winfunktion 20 (eine Sammlung vieler Berechnungen und mathematischen Simulationen) 1 Mill. Ziehungen simuliert (geht sehr schnell) und das Programm hat die Zweier, Dreier ... und auch Sechser durchgezählt und die Quote war für "Zweier" tatsächlich 13,24%.

In der Praxis gibt es aber nur die kümmerliche Belohnung von 5 EUR, wenn man auch noch eine der 10 möglichen Superziffern richtig hat, was die Wahrscheinlichkeit auf 1,324% senkt. Ein Tipp kostet als Einsatz 1 Euro,
Somit ist das neue Lottosystem zumindest für "Zweier" absolut unfair und wer sich nun entschließt wegen der neuen "Zweiergewinne" tippt, müsste fast immer bloß den Einsatz verlieren. Außer Betracht bleiben hier die höheren Tipps (Dreier usw.)
Parent - By Thomas P. Date 2013-05-07 03:45
Lotto ist so konzipiert, dass man ungefähr 50% des gesetzten Geldes pro Tip wiederbekommt. Geh stattdessen ins Kasino, dort bekommst 36/37 pro Tip, da hast der mehr von.
Parent - By Benno Hartwig Date 2013-05-07 05:25 Edited 2013-05-07 05:28
[quote="Michael Bechmann"]Somit ist das neue Lottosystem zumindest für "Zweier" absolut unfair[/quote]Der Staat kassiert ja sowieso erstmal reichlich (ungefähr die Hälfte?). Wer mag, kann dies unfair finden.
Ansonsten nimmst du ja mit deinem 1 Euro an allen Chancen gleichzeitig teil: 2er mit Superzahl, 3er ... 6er mit Superzahl. Dass da jede Gewinnchance einzeln betrachtet mickerig ist, muss doch so sein. Andernfalls würdest du in der Summe ja eine viel zu große Chance erhalten (aus Sicht des Staates oder der Lottogesellschaft)
Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Lotto#6_aus_49_in_Deutschland_ab_4._Mai_2013.5B11.5D
Benno
Parent - - By Reinhard Scharnagl Date 2013-05-07 12:13
Drei Richtige zu haben ist etwa 1.5 mal wahrscheinlicher
als bloß zwei Richtige mit Superzahl zu erreichen.
Parent - By Benno Hartwig Date 2013-05-07 14:41
[quote="Reinhard Scharnagl"]Drei Richtige zu haben ist etwa 1.5 mal wahrscheinlicher als bloß zwei Richtige mit Superzahl zu erreichen.[/quote]Faszinierend.
Dies ist dann der einzige Fall, bei dem man für das seltenere Ereignis (1,32% gegenüber 1,59%, diese Werte nennt die Tabelle oben) den kleineren Gewinn bekommt.
OK, da ist 'unfair' schon eine irgendwie nachvollziehbare Wertung.
Benno
Parent - - By Michael Bechmann Date 2013-05-07 14:52
Unfair ist auch, dass die Lottogesellschaften vortäuschen, dass es nun riesige neue Chanchen zum Gewinnen gäbe und so mancher, der die mathematischen Gesetze nicht kennt wird wohl darauf hereinfallen und hoffen, dass bei seinen 10 Tipps auf dem Schein mehrere Zweier dabei sind und man vielleicht noch vergisst, dass auch die Superziffer dazu auch nur mit einer Wahrscheinlichkeit mit 1:9 passt.
Parent - - By Soenke Maerz Date 2013-05-07 16:28
[quote="Michael Bechmann"]
Unfair ist auch, dass die Lottogesellschaften vortäuschen, dass es nun riesige neue Chanchen zum Gewinnen gäbe und so mancher, der die mathematischen Gesetze nicht kennt wird wohl darauf hereinfallen und hoffen, dass bei seinen 10 Tipps auf dem Schein mehrere Zweier dabei sind und man vielleicht noch vergisst, dass auch die Superziffer dazu auch nur mit einer Wahrscheinlichkeit mit 1:9 passt.
[/quote]

Mit Chancen auf Gewinn wirbt sich gerne. Das kennt man doch aus dem Werbefernsehen. Beim Kauf von diesen Euromünzen "Wir garantieren Ihnen eine 100%ige Chance auf Wertsteigerung!". Wer auf sowas reinfällt, hat es nicht besser verdient. Ich habe übrigens jede Woche 3 Richtige im Lotto, indem ich einfach nicht spiele.
Parent - - By Johannes Kersting Date 2013-05-09 16:01
Hallo, schaue nach bei Wickipedia
http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik_für_Schüler/_Stochastik/_Lotto
Ist dort ausgezeichnet erklärt !!

Die Lotto-Simulation in Winfunktion ist reichlich blöd - es muss doch mathematisch erklärt werden!

Beste Grüße
Parent - - By Michael Bechmann Date 2013-05-09 22:29 Edited 2013-05-09 22:36
Winfunktion ist kein Lehrbuch und auch kein Nachhilfe-Programm aus dem Computer.
Die grundsätzlichen mathematischen Zusammenhänge und Formeln sind erklärt, aber grundsätzlich sind die erforderlichen Vorkenntnisse verlangt.

Es würde einfach das Programm (Hunderte verschiedene meist interessante Simulationen oder Module aus dem Unterricht bis zum Studium) völlig überfordern, in den verschiedenen mathematischen und naturwissenschaftlichen Fächern
bis zum Studium den Lehrstoff zusammenhängend darzubieten. Den Anspruch hat es auch nicht.

Vielmehr ist es ein "Experimentier-Baukasten" oder Lösungen rechnerisch oder grafisch in verschiedenen Gebieten aufzubereiten - aber die Ansätze oder die richtigen Fragen muss man selbst formulieren.
Beispielsweise kann man ca. 20 numerische Integrationsverfahren testen und man kann gute Näherungen bekommen. Mit den Hintergründen (Trapezregel, Kepler-Regel usw.) muss man sich vorher allerdings beschäftigen und
ggf. die geeigneten Parameter überlegen sonst weiß man eben nicht, was man da tatsächlich berechnet.
Bei den stochastischen Modulen muss man auch die gängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennen und wissen, bei welchen Sachverhalten welche Verteilungen passen (hier hypergeometrische Verteilung), sonst findet man nicht die richtigen Lösungen. 

Plastisch: Wenn man in Delphi nur diffuse Fragen stellt, kann man keine konkreten Antworten erwarten. Das Orakel kann nur so gut antworten, wie man fragt.  
Parent - - By Johannes Kersting Date 2013-05-10 12:33
Lieber Herr Bechmann,

Sie haben natürlich Recht! Winfunktion ist ein tolles Programm und auch ich nutze es gern, um mathematische Zusammenhänge besser zu verstehen.
Mit meinem Hinweis auf den Lösungsansatz bei Wickipedia wollte ich nur den exakten Weg aufzeigen. Dort ist nachzulesen für 2 Richtige bei 6 aus 49

{ (6 über 2) * (43 über 4) / (49 über 6) } = 1.851.150 / 13.983.816 = 13,2378029.... %.

Aber ich hatte leider auch übersehen, daß Sie die richtige Lösung bereits in Ihrer ersten Post herausgefunden hatten!
Das mit der Excel-Lösung finde ich super!

Beste Grüße
javascript:mwfInsertSmilies("")

       
Parent - By Michael Bechmann Date 2013-05-11 01:14 Edited 2013-05-11 01:17
Ich werde es als Excel herausgeben. Ich hatte schon vor langer Zeit ein Excelblatt für "Binomialverteilungen" erstellt und dann eines für "Hypergeometrische Verteilungen" noch eines in einer Excelmappe.

Dort ist dann auch die Lotto-Wahrscheinlichkeit in N aus M bei Ziel "x erreichte Richtige" thematisiert.

Auf einer Internetseite habe ich im Laufe der Jahre einige mathematische Sachverhalte in Excelform aus dem Schüler- und Studenten-Lehrstoff zusammengetragen, meist als mathematisches Hobby oder weil ich Schüler entsprechende Excelprojekte aufgegeben hatte und selbst zunächst meine Vorstellungen dazu gefunden hatte - Man kann keinen Schüler etwas auftragen, was man selbst nicht hinbekommt.

Was mich permanent ärgert, ist, dass Excel keine Formeln zum numerischen Integrieren anbietet. So hatte ich einige Ansätze für verschiedene numerische Ansätze schon selbst gedanklich gefunden  - aber da
müsste man für ganz verschiedene Strukturen von Integranden excelkompatible Formulierungen finden: etwa f(x) = sin(2x-5) oder für gebrochene Integranden ist einfach nicht für Excel formulierbar.
---
Winfkt 20 ist eines der ganz tollen Programme - und einmalig ist, dass es ohne jegliche Installationen auskommt und daher nicht irgendwelche Einträge die Registration und nicht quer durch alle Platten und Ordner in nicht nachvollziehbarer Weise irgendwas einträgt.

Für Folgeversionen hätte ich noch viele Anregungen die bisher - trotz Hunderte verschiedene Module nicht berücksichtigt - sind,
* z.B. MIN/MAX im R2 mit Nebenbedingungen (etwa Max/Min in einem Kreisform die nicht "parallel" zur Grundfläche liegt auf einem Mantelfläche auf einem Kreiskegel) - eine Standardaufgabe aus dem Grundstudium.
* eine Simulation für "Warteschlangen" - warum stehe ich immer trotz 10 Kassen im Kaufland immer dort, wo man am längsten steht? Hat es einen Sinn im Stau, in jede Lücke in den Parallelspuren zu stoßen oder ist es genauso gut, wenn man in der immer gleichen Spur fährt?

Grüße Michael
Parent - By Michael Bechmann Date 2013-06-04 02:24
Im Laufe des Updates meiner Sammlung der kleinen Anwendungen "Mathematik in der Schule für Excel" ist es nun hier zu finden:

http://schachundmath.de/MB_Hypergeo.xlsx

http://schachundmath.de/mainf.htm

außerdem dort: ein ähnliches Excel-Anwendung für binomiale Verteilung (mit Diagramm); Konvertierungen zwischen verschiedenen Zahlsystemen den Basen 2-36 oder eine Konvertierung eines "Codes" zur Basis zwischen 2...36
in Dezimalsystem (verlangt wegen neuen Funktionen Excel 2013).

viel Spaß!
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