Logik-Zwergen-Rätsel Nummer 2

By Thomas Zipproth Date 2023-02-17 21:56

Allen Mathematikern wahrscheinlich schon bekannt, aber trotzdem, weil es zum Zwergen Thema passt:

Der Zwergenkönig ist besonders schlechter Laune und sperrt 10 Zwerge ins Gefängnis.
Jeder kriegt eine Nummer 1-10.

Wie immer bessert sich seine Laune nach einiger Zeit und er gibt allen Zwergen zusammen die Chance auf Freiheit.
Dazu macht er folgendes:

- In einem getrennten Raum stellt er 10 geschlossene Schachteln auf, aussen numeriert von 1-10.
- In jeder ist eine der 10 Nummern der Zwerge, zufällig verteilt.
- Jetzt dürfen alle Zwerge nacheinander diesen Raum aufsuchen und jeweils die Hälfte der Schachteln (5) öffnen.
- Ist seine Nummer in einer der 5 geöffneten Schachteln, hat dieser Zwerg den Test bestanden.
- Bestehen alle 10 Zwerge den Test, werden sie alle freigelassen, ansonsten keiner.

Alle Zwerge müssen den Raum und die Schachteln so verlassen, wie sie alles vorgefunden haben.
Es ist keinerlei Kommunikation zwischen den Zwergen erlaubt.

Da die Wahrscheinlichkeit für jeden Zwerg, den Test zu bestehen, 50% ist, kann man leicht ausrechnen,
dass die Chance, dass alle den Test bestehen 0.5 hoch 10 (0.00097 oder 0.097%) d.h. 1:1024 ist.

Jetzt die Frage: Wie können die 10 Zwerge die Chance auf Freiheit auf 35% oder ca. 1:3 steigern?

Es ist nach wie vor keinerlei Kommunikation zwischen den Zwergen erlaubt,
sie dürfen aber eine gemeinsame Strategie verwenden, die sie vorher abgesprochen haben.

By Andreas Mader Date 2023-02-17 23:00

Ja, das kenne ich mit 100 Zwergen, der Lösungsweg wird der selbe sein. Deshalb werde ich auch keine Spoiler absetzen.

Schöne Grüße
Andreas Mader

By Michael Bechmann Date 2023-02-18 00:50

Ich habe mal das durchgespielt:

1) Einfachster Gedanke zur Vorüberlegung: Wenn man nur 2 Zwerge hat, ist die Wahrscheinlichkeit 25%, denn Z1 darf nur eine Schachtel öffnen und die hat W=50% und der andere Z2 auch nur 50%. Das ergbit (0,5)^2=25%.

2) Je mehr Zwerge (Anzahl muss durch 2 teilbar sein) ins Spiel kommen, scheint sich die Wahrscheinlichkeit stetig aber nur sehr geringfügig zu erhöhen. Da müsste es dann auch einen Grenzwert geben und der noch zu bestimmen (vielleicht auch zu berechnen).

3)
Vermutlich ist es nicht beliebig, welche Schachteln der Zwerg öffnet - denn dann wäre das Rätsel sinnlos.
Die Aufgabenstellung erfordert, eine Regel oder mehrere Regeln, welche festlegen, welche Schachteln in welcher Reihenfolge geöffnet werden.
Ich habe EXCEL mit einer Tabelle eine zufällige Verteilung erstellt und nun die Zwerge antreten lassen, beginnend mit Z1.
Das erspart viel Schreibkram, wenn ich nicht immer neu die Zahlen aufschreiben muss.

Als Z1 nehme ich die erste Schachtel (ich könnte auch jede andere nehmen - denn ich weiß erstmal nichts). Und dann welche?

Ich nehme erstmal 4 Zwerge und wenn ich für die wenigen Zwerge eine Regel finde, dann ist zu testen, ob es auch für größere Zahlen funktioniert.

10 mal durchgespielt - einen Garantie-Algorithmus finde ich nicht, die 9 anderen vielleicht auch nicht.
Also erfinde ich jetzt eine Regel:

Schachtel 1 2 3 4
Nummer 4 2 1 3

Versuch 1) Nimm die erste Schachtel und danach jeweils die nächste rechte Schachtel.

Z1: Zieht Nummer 4 und Nr.2 und das Spiel ist zu Ende. --> falsche schlechte Regel

Versuch 2)

Nimm immer die Schachtel, welche dem Zettel der zuvor geöffnete Schachtel entspricht.
Z1 zieht aus der Schachtel 1 die Nr. 4 und öffnet dann die Schachtel 4 und findet Nr. 3 --> das Spiel ist auch zu Ende, auch falsche Regel

Ich wills es später nochmal mit anderen Regeln ausknobeln wollen

By Thomas Zipproth Date 2023-02-18 01:44

Es ist in der Tat kein einfaches Rätsel.
Folgende Hinweise sind denke ich ok/notwendig:

- Ein Zwerg kann sich bei der Entscheidung, welche Schachtel er als nächstes öffnet, auf die Informationen stützen, die er aus den von ihm bereits geöffneten Schachteln erhalten hat.
- Die Schachteln sind nicht ohne Grund aussen numeriert.
- Der Erfolg eines Zwerges ist nicht unabhängig vom Erfolg der anderen Zwerge, da alle von der Art der Zahlenverteilung abhängen.
- Permutationen, Zyklen, Abbildungen.

By Michael Bechmann Date 2023-02-18 11:20

Ich bleibe mal bei dem Versuch 2. Man nimmt zuerst eine beliebige Schachtel. Dann nehme ich als nächstes die Schachtel die Nummer, die auf der Zettel der zuletzt geöffnete Schachtel steht.
Eine Garantie gibts nicht, aber es wird ohnhehin nur eine Chance von 1/3 beschrieben.

Wenn die Schachteln von außen nummeriert sind und der Zettel darin der Nummer von außen entspricht, muss man sie naürlich gar nicht öffen, sondern man kann die Situation von draußen analysieren. Aber der dann gibt es keine Kontrolle, ob der Zwerg wirklich nur bis zur 5. Schachtel gedacht hat.

By Thomas Zipproth Date 2023-02-18 11:55

Die Nummer innen muß nicht der Nummer aussen entsprechen (die Nummern innen sind zufällig verteilt).
Aber jeder Zwerg muß, damit das System klappt, dieselbe äußere Numerierung verwenden.

Wenn die Schachteln regelmäßig in dem Raum verteilt wären, also z.B. in einer Reihe von links nach rechts,
dann könnte man die Nummern außen auch weglassen, weil dann jeder Zwerg auch so (einheitlich) wüßte, welcher Schachtel man welche Nummer gibt.

By Michael Bechmann Date 2023-02-18 17:44 Edited 2023-02-18 18:01

Welchen Sinn der äußeren Nummerierung hat, verstehe ich nicht, wenn es ausschließlich auf den inneren Inhalt ankommt.

Ich habe das nun einige Male durchgespielt und die Wahrscheinlichkeit ist offenbar tatsächlich etwa 1/3 und das ist für mich Zwerg eigentlich ein wenig niedrig.
Mir hat mal jemand versucht (ziemlich erfolglos!) zu erklären, dass man bei beabsichtigten(!) Mischen unbewusst gar nichts wirklich mischt, sondern Permutationen erzeugt, sodass ein Rechner oder sehr guter Beobachter die Reihenfolge der "gemischten" Karten weiß.
Dem habe ich auch nicht folgen können - aber vielleicht gibt es hier einen losen Zusammenhang zu den Reihenfolgen der Schachteln hier.

Mathematisch scheint die Optimierung (aber keine Lösung!), ist jedenfalls - wenn man mit meinem Vorschlag (Mit einer beliebigen Schachtel beginnen und dann jeweils gemäß des Zettels in der Schachtel) auch die Reihenfolge der Öffnung und das für jeden Zwerg individuell: Zwerg 2 hat seine eigene Reihenfolge usw.
Da erinnere ich mich ans Studium aus den 80ern so ganz stichpunktmäßig an den algebraischen Bereich (Gruppentheorie, Permutationsgruppen u. a.) zu liegen.

Das war mir leider sehr abstrakt und hätte nicht gedacht, dass das auch mal praktische Bedeutung haben sollte. Aber ich will doch mal in die Richtung nachdenken...

By Thomas Zipproth Date 2023-02-18 18:54

Die Lösung ist fast richtig, würde allerdings momentan glaube ich kein besseres Ergebnis liefern (ich habe es mal schnell simuliert).

Ein Hinweis:
Nehmen wir an, jeder Zwerg hätte statt 5 nur einen einzigen Versuch.
Dann müßte, um überhaupt Erfolg haben zu können, jeder der 10 Zwerge in diesem ersten und einzigen Versuch eine andere Schachtel nehmen.
(da die Nummer von jedem Zwerg in einer anderen Schachtel ist).
Ohne Numerierung der Schachteln wäre das schlecht möglich.
Mit Numerierung ist es aber ganz leicht.